原文鏈接：http://www.juzicode.com/opencv-python-statistics-norm
1、什么是范數
下圖是百度百科關於范數的定義：
從定義可以看到L1范數是所有元素的絕對值的和；L2范數是所有元素(絕對值)的平方和再開方；無窮范數是所有元素取絕對值后再取最大值；在OpenCV中所有元素展開成一個集合構成了上述x1，x2……xn；
漢明范數不在上述定義中，漢明范數又稱漢明距離，最開始用於數據傳輸的差錯控制編碼，表示兩個相同長度的二進制數值其對應bit位不同的數量。統計兩個數對應bit位的差異，需要對兩個數值進行異或運算，統計異或結果中1的個數就是它們的漢明范數(漢明距離)。統計單個數值的漢明范數可以看做將這個數和0進行異或運算后，統計異或結果中1的個數，因為一個數值和0進行異或得到的是其自己，所以統計單個數值的漢明范數就是統計自身bit位為1的個數。計算一個數據集合的漢明范數就是計算這些單個元素漢明范數的總和。
2、接口
norm()用來計算圖像的L1,L2,無窮范數以及漢明范數。OpenCV中提供了2種接口形式，第1種接口只需一個輸入圖像，第2種接口有2個輸入圖像。
第1種接口形式：
cv2.norm(src1[, normType[, mask]]) ->retval- 參數含義：
- src1：輸入圖像，如果是多通道時不區分通道計算；求漢明范數時必須是單通道8bit數據類型；
- normType：范數類型；
- mask：掩碼；
- retval：返回的范數值，浮點類型；
第2種接口形式：
cv2.norm(src1, src2[, normType[, mask]]) ->retval- 參數含義：
- src1：輸入圖像，如果是多通道時不區分通道計算；求漢明范數時必須是單通道8bit數據類型；
- src2：輸入圖像；
- normType：范數類型；
- mask：掩碼；
- retval：返回的范數值，浮點類型；
src1、src2作為輸入圖像可以是單通道也可以是多通道圖像，當使用多通道圖像時，並不分開通道計算，這點和很多函數是不同的。如果要計算單獨通道的范數，則需要先將通道分離。另外在計算漢明范數時，限定了輸入圖像必須為CV_8U類型的。
normType可選的類型有：
| nomrType | 名稱 | 輸入圖像只有src1 | 輸入圖像有src1和src2 |
| NORM_L1 | L1范數 | 所有元素的絕對值的和 | src1-src2的所有元素的絕對值的和 |
| NORM_L2 | L2范數 | 所有元素平方和的開平方 | src1-src2的所有元素平方和的開平方 |
| NORM_L2SQR | L2范數平方 | 所有元素平方和 | src1-src2的所有元素平方和 |
| NORM_INF | 無窮范數 | 元素中絕對值最大的數值 | src1-src2的元素中絕對值最大的數值 |
| NORM_HAMMING | 漢明范數 | 計算src1和0的漢明距離，也即所有元素中1的位數的總和 | src1和src2異或后元素中1的位數的總和 |
| NORM_HAMMING2 | 漢明范數2 | 單個元素從右到左相鄰的兩個bit，如果不全0記為一個1，然后統計新的1的位數 | src1和src2異或后元素按照左側的方法計算1的位數 |
注意這里當有2個輸入圖像src1和src2時，L1,L2和無窮范數的計算是先將2個圖像相減，而計算漢明范數時則是將2個圖像異或。
3、L1,L2和無窮范數
下面先來看下L1,L2和無窮范數：
import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)
img_src = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg')#,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_L2)
print('lena圖像L2范數:',val )
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_L2SQR)
print('lena圖像L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_L1)
print('lena圖像L1范數:',val )
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_INF)
print('lena圖像無窮范數:',val )
arr = np.eye(5)
arr[1][0]=-5
val = cv2.norm(arr) #默認是L2范數
print('改造后np.eye(5)的L2范數:', val)
val = cv2.norm(arr,cv2.NORM_L2SQR)
print('改造后np.eye(5)的L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(arr,cv2.NORM_L1)
print('改造后np.eye(5)的L1范數:',val )
val = cv2.norm(arr,cv2.NORM_INF)
print('改造后np.eye(5)的無窮范數:',val )運行結果如下，從改造的5×5對角陣里可以很好的驗證L1,L2和無窮范數，這個“矩陣”對角線上有5個數值1外加arr[1][0]=-5，L2范數平方就是5個1的平方加-5的平方等於30，L1范數就是5個1和-5的絕對值相加為10，無窮范數就是絕對值最大的數-5取絕對值后的5：
lena圖像L2范數: 125059.42229996106
lena圖像L2范數平方: 15639859106.0
lena圖像L1范數: 100844698.0
lena圖像無窮范數: 255.0
改造后np.eye(5)的L2范數: 5.477225575051661
改造后np.eye(5)的L2范數平方: 30.0
改造后np.eye(5)的L1范數: 10.0
改造后np.eye(5)的無窮范數: 5.04、漢明范數
接下來我們來看下漢明范數，需要注意的是漢明范數的計算要求輸入圖像只能是CV_8U類型的單通道數據。
NORM_HAMMING比較好理解，就是將每個元素用二進制表示，然后數其中的bit為1的數目，最后加起來有多少個1就是其NORM_HAMMING范數。
NORM_HAMMING2稍微復雜些，它需要先考察相鄰的2個bit位，如果2個bit位不全為0記做一個1，即使2個bit都是1也只記做1。比如數值0x30=0b0011 0000，從右向左每2個bit位划分為1組，這樣就划分為4組： 00 11 00 00 ，這樣只有第2組中有2個bit位為1，所以這個時候0x30的NORM_HAMMING2就為1，再比如0x18 = 0b00011000，相鄰的2bit划分后就是 00 01 10 00，這樣有2組的bit位中有1，所以0x18的NORM_HAMMING2就為2。
下面的例子我們手動構造一個簡單的numpy數組，這是一個2×2的數組，其中1個元素按照上表取值，其他3個元素為0，這樣每次只變化1個數值來計算其漢明范數，對上面這個圖表進行驗證：
import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)
arr = np.array([[0,0],[0,0x01]],dtype=np.uint8)
print('0x01的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x01的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x03]],dtype=np.uint8)
print('0x03的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x03的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x0f]],dtype=np.uint8)
print('0x0f的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x0f的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x30]],dtype=np.uint8)
print('0x30的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x30的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x18]],dtype=np.uint8)
print('0x18的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x18的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x1C]],dtype=np.uint8)
print('0x1C的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x1C的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x1E]],dtype=np.uint8)
print('0x1E的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x1E的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0xFF]],dtype=np.uint8)
print('0xFF的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0xFF的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )運行結果：
VX公眾號: 桔子code / juzicode.com
cv2.__version__: 4.5.3
0x01的NORM_HAMMING: 1.0
0x01的NORM_HAMMING2: 1.0
0x03的NORM_HAMMING: 2.0
0x03的NORM_HAMMING2: 1.0
0x0f的NORM_HAMMING: 4.0
0x0f的NORM_HAMMING2: 2.0
0x30的NORM_HAMMING: 2.0
0x30的NORM_HAMMING2: 1.0
0x18的NORM_HAMMING: 2.0
0x18的NORM_HAMMING2: 2.0
0x1C的NORM_HAMMING: 3.0
0x1C的NORM_HAMMING2: 2.0
0x1E的NORM_HAMMING: 4.0
0x1E的NORM_HAMMING2: 3.0
0xFF的NORM_HAMMING: 8.0
0xFF的NORM_HAMMING2: 4.0上面例子運行的結果和漢明范數示例中的結果是一致的。
接下來我們再進一步驗證下NORM_HAMMING2所表示的“相鄰2bit”的含義，考察一個8bit（np.unit8或CV_8U）的數值n，從右到左每2個bit如果不全為0，對應這2個bit就得到一個漢明距離1，否則就為0。我們就可以像下圖這樣設計4個掩碼：0xC0,0x30,0x0C,0x03，如果這個數值n和這4個掩碼進行位與，位與后的結果不為0就得到一個漢明距離1，否則就為0，再把這4個位與結果相加，就得到了這個8bit數值n的HAMMING2范數：
將上面的過程用代碼表示，是下面這樣的，其中輸入數值n，返回HAMMING2范數：
def cal2bithamm(n):
c = 0
for t in [0xc0,0x30,0x0c,0x03]:
if t & n: c +=1
return c有了計算單個數值HAMMING2范數計算方法，我們擴展到一個圖像里，將一個圖像先展開為一維數組，再計算每個元素的HAMMING2范數並累加：
img_src = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg',cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
print('lena的NORM_HAMMING:',cv2.norm(img_src,cv2.NORM_HAMMING) )
print('lena的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(img_src,cv2.NORM_HAMMING2) )
hamming2=0
img_src_flat = img_src.flatten() #展開成一維數組
for n in img_src_flat:
hamming2 += cal2bithamm(n) #單個計算，累加hamming2范數
print('lena的NORM_HAMMING2（驗證計算）:',hamming2)運行結果：
lena的NORM_HAMMING: 1032143.0
lena的NORM_HAMMING2: 809303.0
lena的NORM_HAMMING2（驗證計算）: 809303從運行結果可以看到手動計算的HAMMING2范數結果為809303，與OpenCV norm()函數計算的結果是一樣的。
5、雙圖像輸入
第2種接口形式中，有2路輸入圖像src1和src2，當使用該接口時，要保證輸入的圖像大小一樣、圖像的數據類型一樣。下面這個例子中將lena圖的bgr通道分離出來，用其中的b、g通道分別作為輸入src1和src2，計算其L1、L2、無窮范數：
import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)
img_src_ = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg')#,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
b,g,r = cv2.split(img_src_) #分離通道作為2路圖像輸入
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_L2)
print('lena圖像b-vs-g L2范數:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_L2SQR)
print('lena圖像b-vs-g L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_L1)
print('lena圖像b-vs-g L1范數:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_INF)
print('lena圖像b-vs-g 無窮范數:',val )運行結果：
VX公眾號: 桔子code / juzicode.com
cv2.__version__: 4.5.3
lena圖像b-vs-g L2范數: 13469.265421692455
lena圖像b-vs-g L2范數平方: 181421111.0
lena圖像b-vs-g L1范數: 5466267.0
lena圖像b-vs-g 無窮范數: 123.0從 OpenCV-Python教程：圖像的減法運算、標量加減運算 一文我們知道圖像的減法有cv2.subtract()，cv2.absdiff()以及numpy數組的減法，下面通過實驗驗證下norm()的第2種接口求L1、L2和無窮范數用的是哪一種等價減法：
#用absdiff減法驗證,結果一樣
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_L2)
print('lena圖像cv2.absdiff(b,g) L2范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_L2SQR)
print('lena圖像cv2.absdiff(b,g)L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_L1)
print('lena圖像cv2.absdiff(b,g) L1范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_INF)
print('lena圖像cv2.absdiff(b,g) 無窮范數:',val )
#用subtract驗證,結果不一樣
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_L2)
print('lena圖像cv2.subtract(b,g) L2范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_L2SQR)
print('lena圖像cv2.subtract(b,g)L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_L1)
print('lena圖像cv2.subtract(b,g) L1范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_INF)
print('lena圖像cv2.subtract(b,g) 無窮范數:',val )
#用numpy減法驗證,結果不一樣
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_L2)
print('lena圖像b-g L2范數:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_L2SQR)
print('lena圖像b-g L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_L1)
print('lena圖像b-g L1范數:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_INF)
print('lena圖像b-g 無窮范數:',val )運行結果：
lena圖像b-vs-g L2范數: 13469.265421692455 ######等價
lena圖像b-vs-g L2范數平方: 181421111.0
lena圖像b-vs-g L1范數: 5466267.0
lena圖像b-vs-g 無窮范數: 123.0
lena圖像cv2.absdiff(b,g) L2范數: 13469.265421692455 ######absdiff等價第2種接口
lena圖像cv2.absdiff(b,g)L2范數平方: 181421111.0
lena圖像cv2.absdiff(b,g) L1范數: 5466267.0
lena圖像cv2.absdiff(b,g) 無窮范數: 123.0
lena圖像cv2.subtract(b,g) L2范數: 11262.058870384224
lena圖像cv2.subtract(b,g)L2范數平方: 126833970.0
lena圖像cv2.subtract(b,g) L1范數: 3498108.0
lena圖像cv2.subtract(b,g) 無窮范數: 81.0
lena圖像b-g L2范數: 82887.89184796535
lena圖像b-g L2范數平方: 6870402615.0
lena圖像b-g L1范數: 31595101.0
lena圖像b-g 無窮范數: 255.0從上面的實驗可以看到，用cv2.absdiff()先計算出2個圖像的結果，再用第1種接口計算出來的L1、L2和無窮范數，和用第2種接口直接求出來的L1、L2、無窮范數是一樣的。
從nomrType表格和前面的例子中我們看到第2種函數接口計算2個輸入圖像的L1,L2和無窮范數時，實際上是計算cv2.absdiff(src1,src2)的相應范數，接下來再看下漢明范數是不是也是如此。下面的例子首先根據第2種接口計算出漢明范數，再將2個圖像異或后用第1種接口計算漢明范數，最后是3種減法得到的結果用第1種接口計算漢明范數：
import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)
img_src_ = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg')#,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
b,g,r = cv2.split(img_src_) #分離通道
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_HAMMING)
print('lena圖像b-vs-g NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena圖像b-vs-g NORM_HAMMING范數2:',val )
#進行異或運算
img_xor=cv2.bitwise_xor(b,g)
val = cv2.norm(img_xor,cv2.NORM_HAMMING)
print('lena圖像xor-b g NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(img_xor,cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena圖像xor-b g NORM_HAMMING范數2:',val )
#absdiff(b,r)
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_HAMMING)
print('lena圖像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena圖像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數2:',val )
#subtract(b,r)
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_HAMMING)
print('lena圖像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena圖像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數2:',val )
#b-g通道
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_HAMMING)
print('lena圖像b-g NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena圖像b-g NORM_HAMMING范數2:',val )
運行結果：
cv2.__version__: 4.5.3
lena圖像b-vs-g NORM_HAMMING范數: 926420.0 ######等價異或
lena圖像b-vs-g NORM_HAMMING范數2: 687029.0
lena圖像xor-b g NORM_HAMMING范數: 926420.0 ######等價第2種接口
lena圖像xor-b g NORM_HAMMING范數2: 687029.0
lena圖像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數: 659236.0
lena圖像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數2: 520833.0
lena圖像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數: 375979.0
lena圖像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數2: 298930.0
lena圖像b-g NORM_HAMMING范數: 1047036.0
lena圖像b-g NORM_HAMMING范數2: 710907.0從運行結果可以看到，第2種接口計算2個圖像的漢明范數和第1種接口計算2個圖像異或后得到的漢明范數是一樣的。
總結：圖像的L1范數是所有元素的絕對值之和，L2范數是所有元素的平方和開方，無窮范數是絕對值最大的元素取絕對值；漢明范數約束在單通道8bit的圖像類型，NORM_HAMMING統計的是所有元素bit位為1的總數，NORM_HAMMING2表示的范數則是相鄰2bit不為0的總數。
第2種接口形式范數計算中，L1、L2、無窮范數可以看做是2個圖像用absdiff()相減后得到的圖像再用第1種接口形式計算的范數，漢明范數則可以看做是2個圖像用bitwise_xor()異或后得到的圖像再用第1種接口形式計算的范數。