p范數（p norm）

先回顧一下范數的定義（en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)）：

Given a vector space V over a subfield F of the complex numbers, a norm on V is a function p: V → R with the following properties:^[1]

For all a ∈ F and all u, v ∈ V,

1. p(av) = |a| p(v), (absolute homogeneity or absolute scalability).
2. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangle inequality or subadditivity).
3. If p(v) = 0 then v is the zero vector (separates points).

By the first axiom, absolute homogeneity, we have p(0) = 0 and p(-v) = p(v), so that by the triangle inequality

p( v) ≥ 0 ( positivity).

 

經常會聽到p范數（p norm）的說法，其實很簡單，可以看成2范數的擴展，但是有一點需要注意：p的范圍是[1, inf)。p在(0,1)范圍內定義的並不是范數，因為違反了三角不等式（||x+y|| <= ||x|| + ||y||，此處x和y是向量，后面出現x和y的地方也是向量，不再贅述）。見下面wikipedia的截圖

 

在p范數下定義的單位球（unit ball）都是凸集（convex set，簡單地說，若集合A中任意兩點的連線段上的點也在集合A中，則A是凸集），但是當0<p<1時，在該定義下的unit ball並不是凸集（注意：我們沒說在該范數定義下，因為如前所述，0<p<1時，並不是范數）.下圖展示了p取不同值時unit ball的形狀

 

 

當0<p<1時，上面類似p范數的定義不能對任意兩點滿足三角不等式，也就是說，存在兩點，它們不滿足三角不等式。這個論斷證明起來很簡單，只要找出兩個這樣的點就行了。

在一維空間中，按照p范數的定義，三角不等式總是成立。於是我們可以考慮在二維空間選點（因為二維空間比較簡單），考慮特殊一點的，比如，取x=(0,1), y=(1,0)

||x|| = 1， ||y|| = 1，||x+y|| = 2^(1/p) > 2 == ||x|| + ||y||，這就是一個違反三角不等式的例子，證畢。

對於更高維空間都可以取類似的例子，比如三維就取(0,0,1), (0, 1, 0), (1,0,0)

 

下面的python(ver 2.7)代碼可以用來畫p取不同值時的unit ball：

import numpy as np
from matplotlib.pyplot import *

figure(); hold(True)
r = 1
linestyle = ['b-','k-','m-','r-','y-']
p_values = (0.25, 0.5, 1, 2, 4)
for i,p in enumerate(p_values):
    x = np.arange(-r,r+1e-5,1/128.0)
    y = (r**p - (abs(x)**p))**(1.0/p)
    y = zip(y, -y)
    plot(x, y, linestyle[i], label=str(i))
axis('equal')
show()

結果是這樣的(由內到外p逐漸增大，藍線代表p=0.25，黃線代表p=4)：

 

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第一個圖是截圖后用MyPaint做的標記（紅線），這是一個ubuntu(Linux)平台上類似於window畫圖的工具，比較輕量級，找了我好一會……