矩陣論練習33（矩陣p范數和算子范數）

矩陣p范數

設矩陣 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，則有下列矩陣范數：

\[\lVert A\rVert_{m1}=\sum\limits_{i,j}|a_{ij} \]

\[\lVert A\rVert_{m2}=(\sum\limits_{i,j}|a_{ij}^2)^{1/2}=(trA^HA)^{1/2}=(trAA^H)^{1/2} \]

\[\lVert A\rVert_{m\infty}=\max\limits_{i,j}{|a_{ij}|} \]

\(\lVert A\rVert_{m2}\)又記為\(\lVert A\rVert_F\)，稱為Frobenius范數，簡稱F范數。

算子范數

設\(\lVert\cdot\rVert_{\nu_n}, \lVert\cdot\rVert_{\nu_m}\)分別是\(C^n, C^m\)上的范數，定義\(C^{m\times n}\)上的實值函數\(\lVert\cdot\rVert\)：

\[\lVert A\rVert = \max\limits_{\theta\ne x\in C^n} \frac{\lVert Ax\rVert_{\nu_m}}{\lVert x\rVert_{\nu_n}} \]

稱\(\lVert\cdot\rVert\)是由\(\lVert\cdot\rVert_{\nu_n}, \lVert\cdot\rVert_{\nu_m}\)誘導的算子范數。

設\(A=(a_{ij})_{s\times n}\)，則

\[\lVert A\rVert_1 = \max\limits_{1\le j\le n}{\sum\limits_{i=1}^s |a_{ij}|} \]

被稱作列模和范數，就列和的最大值。

\[\lVert A\rVert_2 = \sqrt{\rho(A^HA)} \]

被稱作譜范數，\(\rho(M)\)代表\(M\)的譜半徑，通常即為\(M\)最大特征值。

\[\lVert A\rVert_\infty = \max\limits_{1\le i\le s}{\sum\limits_{j=1}^n |a_{ij}|} \]

被稱作行模和范數。

題目

設\(A\in C^{n\times n}\)，試證：
（1） 若\(A^HA=I\)，則\(\lVert A\rVert_F=\sqrt{n}, \lVert A\rVert_2=1\)；
（2） \(\lVert A\rVert_2\le \lVert A\rVert_F \le \sqrt{n}\lVert A\rVert_2\)。

解答

（1）直接根據定義導出的運算結果計算即可，跡等於特征值之和，譜半徑等於最大特征值。\(\lVert A\rVert_F= \sqrt{tr A^HA}=\sqrt{tr I}=\sqrt{n}\)，\(\lVert A\rVert_2=\sqrt{\rho(A^HA)} = \sqrt{\rho(I)}=1\)。

（2）設矩陣 \(B=A^HA\)的特征值為 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n\ge 0\)（因為\(B\)為H陣，半正定，所有特征值均非負），則\(\lVert A\rVert_2 = \sqrt{\lambda_1}\)，\(\lVert A\rVert_F=\sqrt{\lambda_1 + \cdots + \lambda_n}\)，根據這些關系，很容易證明需要證明的不等式，此處略。