加法和減法是計算機中最基本的運算，計算機時時刻刻都離不開它們，所以它們由硬件直接支持。為了提高加減法的運算效率，硬件電路要設計得盡量簡單。
對於有符號數，內存要區分符號位和數值位，對於人腦來說，很容易辨別，但是對於計算機來說，就要設計專門的電路，這無疑增加了硬件的復雜性，增加了計算的時間。要是能把符號位和數值位等同起來，讓它們一起參與運算，不再加以區分，這樣硬件電路就變得簡單了。
另外，加法和減法也可以合並為一種運算，就是加法運算，因為減去一個數相當於加上這個數的相反數，例如，5 - 3 等價於 5 + (-3)，10 - (-9) 等價於 10 + 9。
如果能夠實現上面的兩個目標，那么只要設計一種簡單的、不用區分符號位和數值位的加法電路，就能同時實現加法和減法運算，並且非常高效。實際上，這兩個目標都已經實現了，真正的計算機硬件電路就是如此簡單。
然而，簡化硬件電路是有代價的，這個代價就是有符號數在存儲和讀取時都要進行轉化。那么，這個轉換過程究竟是怎樣的呢？接下來我們就詳細地講解一下。
首先，請讀者先記住下面的幾個概念。
1) 原碼
將一個整數轉換成二進制形式，就是其原碼。例如short a = 6;，a 的原碼就是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此時 a 的原碼就是1000 0000 0001 0010。
通俗的理解，原碼就是一個整數本來的二進制形式。
2) 反碼
談到反碼，正數和負數要區別對待，因為它們的反碼不一樣。
對於正數，它的反碼就是其原碼（原碼和反碼相同）；負數的反碼是將原碼中除符號位以外的所有位（數值位）取反，也就是 0 變成 1，1 變成 0。例如short a = 6;，a 的原碼和反碼都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此時 a 的反碼是1111 1111 1110 1101。
3) 補碼
正數和負數的補碼也不一樣，也要區別對待。
對於正數，它的補碼就是其原碼（原碼、反碼、補碼都相同）；負數的補碼是其反碼加 1。例如short a = 6;，a 的原碼、反碼、補碼都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此時 a 的補碼是1111 1111 1110 1110。
可以認為，補碼是在反碼的基礎上打了一個補丁，進行了一下修正，所以叫“補碼”。
原碼、反碼、補碼的概念只對負數有實際意義，對於正數，它們都一樣。
最后我們總結一下 6 和 -18 從原碼到補碼的轉換過程：
在計算機內存中，整數一律采用補碼的形式來存儲。這意味着，當讀取整數時還要采用逆向的轉換，也就是將補碼轉換為原碼。將補碼轉換為原碼也很簡單：先減去 1，再將數值位取反即可。
補碼到底是如何簡化硬件電路的
假設 6 和 18 都是 short 類型的，現在我們要計算 6 - 18 的結果，根據運算規則，它等價於 6 + (-18)。
如果采用原碼計算，那么運算過程為：
6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]原 + [1000 0000 0001 0010]原
= [1000 0000 0001 1000]原
= -24
直接用原碼表示整數，讓符號位也參與運算，對於類似上面的減法來說，結果顯然是不正確的。
於是人們開始繼續探索，不斷試錯，后來設計出了反碼。下面就演示了反碼運算的過程：
6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]反 + [1111 1111 1110 1101]反
= [1111 1111 1111 0011]反
= [1000 0000 0000 1100]原
= -12
這樣一來，計算結果就正確了。
然而，這樣還不算萬事大吉，我們不妨將減數和被減數交換一下位置，也就是計算 18 - 6 的結果：
18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]反 + [1111 1111 1111 1001]反
= [1 0000 0000 0000 1011]反
= [0000 0000 0000 1011]反
= [0000 0000 0000 1011]原
= 11
按照反碼計算的結果是 11，而真實的結果應該是 12 才對，它們相差了 1。
藍色的 1 是加法運算過程中的進位，它溢出了，內存容納不了了，所以直接截掉。
6 - 18 的結果正確，18 - 6 的結果就不正確，相差 1。按照反碼來計算，是不是小數減去大數正確，大數減去小數就不對了，始終相差 1 呢？我們不妨再看兩個例子，分別是 5 - 13 和 13 - 5。
5 - 13 的運算過程為：
5 - 13 = 5 + (-13)
= [0000 0000 0000 0101]原 + [1000 0000 0000 1101]原
= [0000 0000 0000 0101]反 + [1111 1111 1111 0010]反
= [1111 1111 1111 0111]反
= [1000 0000 0000 1000]原
= -8
13 - 5 的運算過程為：
13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]原 + [1000 0000 0000 0101]原
= [0000 0000 0000 1101]反 + [1111 1111 1111 1010]反
= [1 0000 0000 0000 0111]反
= [0000 0000 0000 0111]反
= [0000 0000 0000 0111]原
= 7
這足以證明，剛才的猜想是正確的：小數減去大數不會有問題，而大數減去小數的就不對了，結果始終相差 1。
相差的這個 1 要進行糾正，但是又不能影響小數減去大數，怎么辦呢？於是人們又絞盡腦汁設計出了補碼，給反碼打了一個“補丁”，終於把相差的 1 給糾正過來了。
下面演示了按照補碼計算的過程：
6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]補 + [1111 1111 1110 1110]補
= [1111 1111 1111 0100]補
= [1111 1111 1111 0011]反
= [1000 0000 0000 1100]原
= -12
18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]補 + [1111 1111 1111 1010]補
= [1 0000 0000 0000 1100]補
= [0000 0000 0000 1100]補
= [0000 0000 0000 1100]反
= [0000 0000 0000 1100]原
= 12
5 - 13 = 5 + (-13)
= [0000 0000 0000 0101]補 + [1111 1111 1111 0011]補
= [1111 1111 1111 1000]補
= [1111 1111 1111 0111]反
= [1000 0000 0000 1000]原
= -8
13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]補 + [1111 1111 1111 1011]補
= [1 0000 0000 0000 1000]補
= [0000 0000 0000 1000]補
= [0000 0000 0000 1000]反
= [0000 0000 0000 1000]原
= 8
你看，采用補碼的形式正好把相差的 1 糾正過來，也沒有影響到小數減去大數，這個“補丁”真是巧妙。
小數減去大數，結果為負數，之前（負數從反碼轉換為補碼要加 1）加上的 1，后來（負數從補碼轉換為反碼要減 1）還要減去，正好抵消掉，所以不會受影響。
而大數減去小數，結果為正數，之前（負數從反碼轉換為補碼要加 1）加上的 1，后來（正數的補碼和反碼相同，從補碼轉換為反碼不用減 1）就沒有再減去，不能抵消掉，這就相當於給計算結果多加了一個 1。
補碼這種天才般的設計，一舉達成了本文開頭提到的兩個目標，簡化了硬件電路。