伽馬函數

定義

伽馬函數是階乘函數在實數與復數上的擴展。對於實數部份為正的復數 z\(（Re(z) > 0）\)，伽瑪函數定義為:

\[\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{z-1} \mathrm{~d} t . \quad(z>0) \]

在Rez>0處收斂。

性質

(1)遞推公式\(\quad\Gamma(z+1)=z \Gamma(z)\)

證 應用分部積分法, 有

\[\begin{aligned} \Gamma(s+1) &=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s} \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{+\infty} x^{s} \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{-x}\right) \\ &=\left[-x^{s} \mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{+\infty}+s \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x=s \Gamma(s) \end{aligned} \]

其中 \(\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{s} \mathrm{e}^{-x}=0\) 可由洛必達法則求得.
顯然, \(\Gamma(1)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{d} x=1\).

(2)與階乘的關系 \(\Gamma(n+1)=n !\)

證：反復運用遞推公式,便有

\[\begin{gathered} \Gamma(2)=1 \cdot \Gamma(1)=1 \\ \Gamma(3)=2 \cdot \Gamma(2)=2 ! \\ \Gamma(4)=3 \cdot \Gamma(3)=3 ! \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \end{gathered} \]

一般地, 對任何正整數 \(n\), 有

\[\Gamma(n+1)=n ! \]

所以,我們可以把 \(\Gamma\) 函數看成是階乘的推廣.

(3)\(\quad\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)

(4)歐拉反射公式

\(\quad\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}\quad\)(0<Re(z)<1)。
由此可知\(z=\frac 1 2\)時，\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)

利用伽馬函數計算積分

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin ^{2 \alpha-1} x \cos ^{2 \beta-1} x d x=\frac{\Gamma(\alpha) F(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \]

\[\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} d x=\frac{\Gamma(p) \cdot \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \]