\(\Gamma\)函數的定義
- 在實數域上伽馬函數定義為：
\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0) \]
另外一種寫法：
\[\Gamma(x)=2\int_0^{+\infty}t^{2x-1}e^{-t^2}dt \]
- 在復數域上伽馬函數定義為：
\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \]
\(\Gamma\)函數常用性質
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\(\Gamma(x+1)=\lim\limits_{N\to+\infty}\frac{n!n^x}{\prod_{m=1}^{n}(x+m)}\)
-
遞歸性質：
\[\Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \]
- 對於正整數\(n\),
\[\Gamma(x)=(n-1)!\Gamma(1) \]
- 與白塔（Beta）函數的關系：
\[B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} \]
其中，\(B\)函數的定義為：
對於任意的\(P,Q>0\),
\[B(P,Q)=\int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx \]
- 對於\(x\in(0,1)\)，有
\[\Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{\sin{\pi}x} \]
- 常見\(\Gamma\)函數的取值：
\[\Gamma(\frac{1}{2})=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi} \]
\[\Gamma(-\frac{3}{2})=\frac{4}{3}\sqrt{\pi} \]
\[\Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi} \]
\[\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi} \]
\[\Gamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{4}\sqrt{\pi} \]
\[\Gamma(\frac{7}{2})=\frac{15}{8}\sqrt{\pi} \]
\[\int_0^{+\infty}e^{-t^2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \]
- 對於任意正整數\(n\)，\(\Gamma(n)=(n-1)!\)
求高斯函數\(f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}dx\)的矩母函數
引理1：\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)
證明：
\[\begin{align*} &(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy\\ &=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\\ &=2\pi\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\\ &=2\pi(-e^{-\frac{r^2}{2}}|_0^{+\infty})\\ &=2\pi \end{align*} \]
因此，\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)
\[\begin{align*} g_{\xi}(\theta)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\theta x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\}dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}+\theta x}dx\\ &\overset{w=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}}{=}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta(w\sigma_1+\mu_1)}dw\\ &=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta w\sigma_1}dw\\ &=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2-\theta^2\sigma_1^2}{2}}dw\\ &=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2}{2}}dw\\ &=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}\\ &=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\\ \end{align*} \]