該函數由歐拉（22歲）在1729年得出。
實數域上的伽馬函數：
由上式我們可以看出為什么會有伽馬函數：為了把階乘數列推廣到實數上。
復數域上的伽馬函數：
常用性質：
Γ（x+1）=xΓ(x)
，
,B(a,b)稱為第一型歐拉積分，伽馬函數是第二型歐拉積分。
伽馬分布：
余元公式：
對於想x>0 ，伽馬函數是嚴格凸函數
伽馬函數是亞純函數，在復平面上，除了零和負整數點以外，它全部解析，而伽馬函數在-k處的留數為:
當x取的數越大，Gamma 函數就越趨向於 Stirling 公式，所以當x足夠大時，可以用Stirling 公式來計算Gamma 函數值。
Digamma函數:
,
是歐拉常數