伽馬分布

本文轉載自查看原文 2017-03-21 10:25 34028 011 統計學/ 統計學

伽瑪分布（Gamma Distribution）是統計學的一種連續概率函數。Gamma分布中的參數α稱為形狀參數（shape parameter），β稱為尺度參數（scale parameter）。

假設隨機變量X為等到第α件事發生所需之等候時間, 密度函數為

特征函數為

Gamma的可加性

編輯

當兩隨機變量服從Gamma分布，且單位時間內頻率相同時，Gamma

數學表達式

若隨機變量X具有概率密度

其中α>0,β>0,則稱隨機變量X服從參數α，β的伽馬分布，記作G(α,β).

性質：

1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。Erlang分布常用於可靠性理論和排隊論中 ,如一個復雜系統中從第 1 次故障到恰好再出現 n 次故障所需的時間;從某一艘船到達港口直到恰好有 n 只船到達所需的時間都服從 Erlang分布；

2、當α= 1 , β = 1/λ 時，Γ(1,1/λ) 就是參數為λ的指數分布,記為exp (λ) ；

3、當α =n/2 ，β=1/2時，Γ (n/2,1/2)就是數理統計中常用的χ2( n) 分布。

4、數學期望( 均值)、方差分別為

對於Γ(a ,β )，E( X) =a/β，D ( X) =α / (β*β)

5、(Gamma 分布的可加性)：設隨機變量 X1 , X2 , …, Xn 相互獨立，並且都服從Gamma 分布，即Xi ～Γ(αi , β)，i =1 ,2 , …, n , 則：

X1 + X2 + …+ Xn ～ Γ(α1 +α2 + …+αn ,β )

其實你只要記住了 Gamma function $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$
做積分變換 $t = \beta x$ ，可得 $\Gamma(\alpha,\beta) = \beta^\alpha\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x\beta}dx$ ，從而
$\frac{1}{\Gamma(\alpha,\beta) } \beta^\alpha\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x\beta}dx = 1$
那么 Gamma distribution 就很好記了。

並且伽馬分布與一大坨分布有着曖昧的關系，比如：
Erlang distribution、 Chi-squared distribution、 Exponential distribution、 Beta distribution、 Normal distribution

最后來個分布族譜圖：

Gamma分布即為多個獨立且相同分布（iid）的指數分布變量的和的分布。
（最新修改，希望能夠行文布局更有邏輯）

—————— 泊松過程——————
指數分布和 泊松分布的關系十分密切，是統計學中應用極大的兩種分布。
其中 泊松過程是一個顯著應用。

泊松過程是一個 計數過程，通常用於模擬一個（非連續）事件在連續時間中發生的次數。
$\{N(t):t\geq 0\}$ 為一個泊松過程，則其滿足三個性質：
① N(0)=0

（t=0時什么都沒發生）

② N(t+s)-N(t)

（增量）之間互相獨立：
擴展補充： N(t+1)-N(t)

與

互相獨立，且在計數過程中
$Pr(N(t+1)=n_{t+1}|N(t)=n_{t},N(t-1)=n_{t-1},...,N(1)=n_{i})$
$=Pr(N(t+1)=n_{t+1}|N(t)=n_{t})$
這是因為
$Pr(N(t+1)=n_{t+1}|N(t)=n_{t},N(t-1)=n_{t-1},...,N(1)=n_{i})$
$=Pr(N(t+1)=N(t)+n_{t+1}-n_{t}|N(t)=n_{t},N(t-1)=n_{t-1},...,N(1)=n_{i})$
$=Pr(N(t+1)=n_{t+1}|N(t)=n_{t})$

③ $Pr(N(t+s)-N(s)=n)=Pr(N(t)=n)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t )^{n}}{n!}$
即 $N(t) \sim Poi(\lambda t)$
根據增量獨立性，易知其成立。

—————— 泊松→指數——————
假設 $T_{i}$ 為第 i-1

次事件與第

次事件的間隔時間。
$Pr(T_{1}>t)=Pr(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$
所以 $T_{1} \sim Exp(\lambda)$

$Pr(T_{i}>t|T_{i-1}=s)=Pr(N(t+s)-N(s)=0)=e^{-\lambda t}$
所以 $T_{i} \sim Exp(\lambda)$

即泊松過程的事件間隔時間為指數分布。

—————— 指數→Gamma—————
再令 $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{T_{i}}$ ，即從頭開始到第

次事件的發生的時間，該隨機變量分布即為Gamma分布。
即 $S_{n} \sim Gamma(n,\lambda )$ 。
Gamma分布即為多個獨立且相同分布（iid）的指數分布變量的和的分布。

—————— 證明——————
假設 $X_{1},X_{2},X_{3},...X_{n}\sim Exp(\lambda )$ 且互相獨立

①Moment Generating Function（MGF）：
MGF的定義為 $M_{X}(t)=E[e^{tX} ]=1+tX+\frac{t^{2}X^{2}}{2!} +\frac{t^{3}X^{3}}{3!}+...\frac{t^{n}X^{n}}{n!}+...$
則 $E[X^{n}]=M_{X}^{(n)} (0)=\frac{d^{n}M_{X}(t)}{dt} |_{t=0}$
其性質為 $M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\times M_{Y}(t)$

下證：
$X_{i} \sim Exp(\lambda)\Leftrightarrow M_{X_{i}}(t)=(1-\frac{t}{\lambda} )^{-1}$
$S=\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$
則 $M_{S}(t)=\prod_{i=1}^{n} M_{X_{i}}(t)=\prod_{i=1}^{n} (1-\frac{t}{\lambda} )^{-1}=(1-\frac{t}{\lambda} )^{-n}$
為Gamma分布的MGF。
MGF: Moment-generating function

②數學歸納法：
已知 $Gamma(1,\lambda)=Exp(\lambda)$
所以當 n=1

時成立。
假設 $n\leq k$ 時 $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{X_{i}} \sim Gamma(n,\lambda )$ 成立
當 n=k+1

時，
$S_{k+1}=S_{k}+X_{k+1}$
其中 $S_{k} \sim Gamma(k,\lambda), X_{k+1} \sim Exp(\lambda)$
$Pr(S_{k+1}=x)$
$=\int_{0}^{x} Pr(S_{k}=y)Pr(X_{k+1}=x-y)dy$
$=\int_{0}^{x} \frac{\lambda^{k}}{\Gamma (k)} y^{k-1}e^{-\lambda y}\times \lambda e^{-\lambda (x-y)}dy$
$=\frac{\lambda^{k+1}}{\Gamma (k)}e^{-\lambda x}\int_{0}^{n} y^{k-1}dy$
$=\frac{\lambda^{k+1}}{\Gamma (k)}e^{-\lambda x} \frac{y^{k}}{k}|_{y=0}^{n}$
$=\frac{\lambda^{k+1}}{\Gamma (k+1)}x^{k}e^{-\lambda x}$
為 $Gamma(k+1, \lambda)$ 的pdf。證畢。

當然，Gamma分布與Beta，Chi-square分布也有着十分緊密的聯系，不過在統計學應用中都不如與指數分布的聯系來得重要。

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