特征函數
假設 \(p(x)\) 是隨機變量 \(X\) 的密度函數，則 \(p(x)\) 傅里葉變換是：
\[\varphi (t) = \int _{-\infty }^{\infty} e^{itx} p(x) \mathrm{d}x = E(e^{itX}) \]
\(e^{it} = \cos t + i\sin t \qquad; E(e^{it}) = E(cos) + i E(sin)\) 其中 \(\varphi(x)=E(e^{itx})\) 稱為 \(p(x)\) 的特征函數。
- 離散型
\[\varphi(x) = \sum_{i=1}^{n} e^{itx}p(x) \]
- 連續型
\[\varphi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}p(x) \mathrm{d}x \]
根據數學期望的定義：
\[E(|x|)=\int _{-\infty }^{\infty} |x|p(x)\mathrm{d}x ∈(-\infty,+\infty) \]
那么特征函數的總是存在嗎？
\[|e^{itx}|=1 \qquad \varphi (t) = \int _{-\infty }^{\infty} |e^{itx}| p(x) \mathrm{d}x = E(|e^{itX}|) < \infty \]
可見特征函數總是收斂的，數學期望也一定存在，故特征函數一定存在。
一些特征函數的性質
性質1:\(|\varphi(x)|≤\varphi(0)= 1\)
性質2:\(\varphi(-t) = \overline{\varphi(t)}\) 其中\(\overline{\varphi(t)}\) 表示 \(\varphi(t)\) 的共軛
性質3:若\(Y = aX + b\) ，其中 \(a,b\) 都是常數， 則
\[\varphi_Y(t) = E(e^{itY}) = E(e^{it(aX+b))}) =e^{itb}E(e^{itaX}) \]
性質4:獨立隨機變量和的特征函數為每個隨機變量的特征函數的積，假設\(x\) 與\(y\) 之間相互獨立則有：
\[\varphi_{x+y}(t) = \varphi_x(t)*\varphi_y(t) \]
性質5:...
指數分布的特征函數
\(p(x) = \lambda e^{-\lambda} \quad x≥0\) 所以它的特征函數為：
\[\varphi(x) = \int_{0}^{\infty} e^{itx}\lambda e^{-\lambda} \mathrm{d}x = \lambda [\int_{0}^{\infty}cos(tx)e^{\lambda x}\mathrm{d}x + i\int_{0}^{\infty}sin(tx)e^{\lambda x}\mathrm{d}x] = \lambda (\frac{\lambda}{\lambda^2 + t^2} + i\frac{t}{\lambda^2 + t^2}) = (1-\frac{it}{\lambda})^{-1} \]
伽馬分布\(Ga(n,\lambda)\)的特征函數
假設 \(Y\sim Ga(n,\lambda)\) ，則 \(Y = X_1+X_2+X_3+\cdots+X_n\) 其中\(X_i\) 獨立同分布，且 \(X_i\sim Ga(1,\lambda)\) ,則 \(X_i\) 的特征函數為
\[\varphi_{X_i}(t) = (1-\frac{it}{\lambda})^{-1} \]
有伽馬函數的可加性和上面說到的性質4 \(\varphi_{x+y}(t) = \varphi_x(t)*\varphi_y(t)\)
\[\varphi_{Y}(t) = \Pi_{i=1}^{n} \varphi_{X_i}(t) = (1-\frac{it}{\lambda})^{-n} \]
由性質3 \(\varphi_Y(t) = e^{itb}E(e^{itaX})\) 和伽馬分布的特征函數 \(\varphi_{Y}(t)=(1-\frac{it}{\lambda})^{-n}\) 可以證明伽馬分布的伸縮性\(X\sim Ga(n,\lambda) \qquad Y=\frac{1}{k}X \qquad Y\sim Ga(n,k\lambda)\)。 假設\(Y=\frac{1}{k}X\)
\[\varphi_{Y}(t) = e^{itb}E(e^{itaX}) = e^{it*0}E(e^{it\frac{1}{k}X})=1*\varphi_X(\frac{1}{k}t)=(1-\frac{it}{k\lambda})^{-n} \sim Ga(n,k\lambda) \]
的證#
