以前背過正弦函數的求導公式，就是sin'x = cos x，可是總也沒推導過。這兩天看了很多網上的推導做法，簡直是誤人子弟。含糊不清的，曲線救國的，各種做法滿天飛，也是好笑。在這兒，我盡量地再仔細地推導一遍，本着“為往聖繼絕學”的遠大理想，為偉大的科普事業添磚加瓦罷。
函數式求導公式的推導是有一個基本原則的：用極限的手段，推導函數式在自變量變化的同時，因變量的變化趨勢。用幾何中的說法就是，導式就是斜率的函數式。
廢話不多說，以下正弦函數的求導公式證明，會用到導數的定義、三角函數的部分推導式、三角函數的幾何特性和高等數學的夾逼定理等手段，來做一次“步驟無跳躍”的推導。
第一階段的推導：
上圖中第一行是求導公式的定義，第二行是借助了三角函數的和差化積公式（如下）
第三行是簡單化簡，第四行推導的理由是第三行中的因式可如下推導
至此，第一階段推導的結果歸結到求下式的值
這個式子的值等價於
這個式子中除了△x外並沒有其他變量，所以這個式子的值是一個常數（其實就是sin’(0)的值）。求得這個常數，就能得到正弦公式的導式了，我們把這個求值過程交給第二階段來做。
第二階段的求解：
其實第一階段最后的式子，是需要使用夾逼定理和一些幾何特性來證明的，不可以用任何微積分的結果來證明這個式子的值。
我不重復解釋夾逼定理了，直接搬來維基的答案，如下：
怎么樣，這份答案夠詳細了吧。不過啊不過，這份維基的推導中，有一行，我是無論如何都沒弄明白為啥會直接列出來，就是那句arcAD<AE。我眼神不好，這個弧AD看起來好像是比線段AE短的，但是數學猜想才能靠直覺，這里是數學求解，這是不可以用直覺來得結果的。
那么，有沒有嚴謹的做法來證明：當0<θ<π/2時，線段AE比弧AD長。呵呵，這就是我的答案和網上大部分答案不同的地方了，兄弟我啊，證明出來了，嘻嘻。請大家來繼續看最后一階段的證明好了。
第三階段的證明：
想要證明線段AE比弧AD長呢，需要先做一條輔助線，做法是過D點做一條線段與OD垂直且與線段AE交於點I，得到一條線段ID，如下圖：
注意，圖中三角形IDE是一個直角三角形，其中∠IDE是直角，根據直角三角形特性斜邊長於直角邊可得IE>ID，所以，AE = AI + IE > AI + ID。那么，證明AI + ID大於弧AD就可以了。
從直覺來說，我覺得AI + ID是大於弧AD的，但是，就像上面說的，數學求解是不能靠直覺的，那怎么辦呢？有辦法，看下圖：
連接IO，交弧AD於點J，然后過J做弧AD的切線交AI和ID於點K、L，於是得到上圖。從這個圖里容易得到一個結論：AI + ID > AK + KJ + JL + LD(在三角形KIL中，利用兩點之間線段最短原理可得)。
直覺告訴我AK + KJ + JL + LD還是長於弧AD的，可我還是得繼續證明才行。所以，我在四邊形AOJK和四邊形DOJL中重復剛才在四邊形AODI中的做輔助線的做法，繼續繪制輔助線，可以得到新的四個子四邊形，然后再在新的子四邊形中重復做輔助線的做法，可以得到新的八個子四邊形，然后再在新的子四邊形中重復做輔助線的做法，可以得到新的十六個子四邊形……當我畫到1024個子四邊形的時候，我的眼睛，我的胃，我的手，我的腰，都感覺到強烈的不適，上吐下瀉涕泗橫流啊……
然而，我發現直覺總是成立的。每條新做的切線的連線都比上一次的輔助切線要短，而且切線連起來越來越逼近弧AD了。
隨着腦海中一句“智商上線中”的彈幕閃過，我想起了一個數學家的名字——劉徽。這位數學大佬的經典之一就是發明了割圓術。
回過頭來看，一遍遍畫輔助線的做法不正是在割圓么？根據極限的思路，輔助線畫到無窮遍的時候，切線之和自然就是弧長了啊。
於是倒推回來可證，弧長AD < AI + ID，於是，第三階段得證。