伽马函数

定义

伽马函数是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数 z\(（Re(z) > 0）\)，伽玛函数定义为:

\[\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{z-1} \mathrm{~d} t . \quad(z>0) \]

在Rez>0处收敛。

性质

(1)递推公式\(\quad\Gamma(z+1)=z \Gamma(z)\)

证 应用分部积分法, 有

\[\begin{aligned} \Gamma(s+1) &=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s} \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{+\infty} x^{s} \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{-x}\right) \\ &=\left[-x^{s} \mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{+\infty}+s \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x=s \Gamma(s) \end{aligned} \]

其中 \(\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{s} \mathrm{e}^{-x}=0\) 可由洛必达法则求得.
显然, \(\Gamma(1)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{d} x=1\).

(2)与阶乘的关系 \(\Gamma(n+1)=n !\)

证：反复运用递推公式,便有

\[\begin{gathered} \Gamma(2)=1 \cdot \Gamma(1)=1 \\ \Gamma(3)=2 \cdot \Gamma(2)=2 ! \\ \Gamma(4)=3 \cdot \Gamma(3)=3 ! \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \end{gathered} \]

一般地, 对任何正整数 \(n\), 有

\[\Gamma(n+1)=n ! \]

所以,我们可以把 \(\Gamma\) 函数看成是阶乘的推广.

(3)\(\quad\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)

(4)欧拉反射公式

\(\quad\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}\quad\)(0<Re(z)<1)。
由此可知\(z=\frac 1 2\)时，\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)

利用伽马函数计算积分

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin ^{2 \alpha-1} x \cos ^{2 \beta-1} x d x=\frac{\Gamma(\alpha) F(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \]

\[\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} d x=\frac{\Gamma(p) \cdot \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \]