多項式（polynomial）

題目大意:

給出一個 n 次多項式

\(f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\)

對於\(k ≤ x ≤ k + l − 1\) 的\(l\) 個\(x\)，分別求出\(f(x)\) 的值。由於答案可能會很大，你只需:輸出\(f(x) \space mod \space 10^m\)的結果。

第一行共四個整數\(n, k, l,m\)，中間用一個空格隔開，含義如題意所述。接下來\(n+1\)行，每行一個整數，依次給出了\(an, an−1, . . . , a0\)。

• 【算法要點】
  • 高精度運算差分
• 【算法一】
  • 有10%的數據，所有數字都在 \(10^9\) 以內，直接做就行了。
  • 時間復雜度 \(O(nl)\)，期望得分 \(10\) 分。
• 【算法二】
  • 由於答案是模 \(10^m\) 的，所以把所有數都模 \(10^m\) 答案不變。於是現在所有數字都在 \(10^{18}\) 以內，直接做就行了。不過可能會遇到兩個\(10^{18}\) 以內的數相乘，如果不想寫高精度就用快速乘算法。
  • 時間復雜度 \(O(nl \log_2(10^{18}))\)，期望得分 \(30\) 分。
• 【算法三】
  • 寫高精度，並壓位。
  • 時間復雜度 \(O(nl({m \over w})^2)\)，其中 \(w\) 為壓的位數。期望得分 \(60\) 分。
• 【算法四】
  • 把算法三中的高精度乘法用FFT等算法實現。
  • 時間復雜度 \(O(nl{m \over w} \log_2m)\)，常數超大，期望得分 \(60 \sim 80\) 分。
• 【算法五】（標准算法）
  • 本題的關鍵是通過差分把乘法轉化成加減法。
  • 把 \(f(x)\) 差分，即令多項式 \(g(x) = f(x + 1) - f(x)\)，得到的 \(g(x)\) 是一個 \(n - 1\) 次多項式，不妨定義其為 \(f^{(n-1)}(x)\) 。
  • 同理，差分兩次后得到一個 \(n-2\) 次多項式，設其為 \(f^{(n-2)}(x)\)
  • ……
  • 這樣下去，差分 \(n\)次后就能得到一些常數。
  • 令\(a[i][j] = f(i)(𝑘-1+j)\)，首先暴力做 \(n+1\) 次算出 \(a[n][1] ∼ a[n][n+1]\)。
  • 然后根據 \(a[i - 1][j] = a[i][j + 1] - a[i][j]\)，可以對每個 \(a[i]\) 算出前 \(i + 1\) 項。
  • 由於 \(a[0][j]\) 都是常數，所以對於 \(j > i + 1\) 的，根據 \(a[i][j] = a[i][j - 1] +a[i - 1][j - 1]\)，就可以推出\(a[i]\) 的前 \(l\) 項。這里只做了 \(O(nl)\)次加法運算。時間復雜度 \(O(n^2({m \over w})^2 + nl{m \over w})\)，期望得分 \(100\) 分。