多项式（polynomial）

题目大意:

给出一个 n 次多项式

\(f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\)

对于\(k ≤ x ≤ k + l − 1\) 的\(l\) 个\(x\)，分别求出\(f(x)\) 的值。由于答案可能会很大，你只需:输出\(f(x) \space mod \space 10^m\)的结果。

第一行共四个整数\(n, k, l,m\)，中间用一个空格隔开，含义如题意所述。接下来\(n+1\)行，每行一个整数，依次给出了\(an, an−1, . . . , a0\)。

• 【算法要点】
  • 高精度运算差分
• 【算法一】
  • 有10%的数据，所有数字都在 \(10^9\) 以内，直接做就行了。
  • 时间复杂度 \(O(nl)\)，期望得分 \(10\) 分。
• 【算法二】
  • 由于答案是模 \(10^m\) 的，所以把所有数都模 \(10^m\) 答案不变。于是现在所有数字都在 \(10^{18}\) 以内，直接做就行了。不过可能会遇到两个\(10^{18}\) 以内的数相乘，如果不想写高精度就用快速乘算法。
  • 时间复杂度 \(O(nl \log_2(10^{18}))\)，期望得分 \(30\) 分。
• 【算法三】
  • 写高精度，并压位。
  • 时间复杂度 \(O(nl({m \over w})^2)\)，其中 \(w\) 为压的位数。期望得分 \(60\) 分。
• 【算法四】
  • 把算法三中的高精度乘法用FFT等算法实现。
  • 时间复杂度 \(O(nl{m \over w} \log_2m)\)，常数超大，期望得分 \(60 \sim 80\) 分。
• 【算法五】（标准算法）
  • 本题的关键是通过差分把乘法转化成加减法。
  • 把 \(f(x)\) 差分，即令多项式 \(g(x) = f(x + 1) - f(x)\)，得到的 \(g(x)\) 是一个 \(n - 1\) 次多项式，不妨定义其为 \(f^{(n-1)}(x)\) 。
  • 同理，差分两次后得到一个 \(n-2\) 次多项式，设其为 \(f^{(n-2)}(x)\)
  • ……
  • 这样下去，差分 \(n\)次后就能得到一些常数。
  • 令\(a[i][j] = f(i)(𝑘-1+j)\)，首先暴力做 \(n+1\) 次算出 \(a[n][1] ∼ a[n][n+1]\)。
  • 然后根据 \(a[i - 1][j] = a[i][j + 1] - a[i][j]\)，可以对每个 \(a[i]\) 算出前 \(i + 1\) 项。
  • 由于 \(a[0][j]\) 都是常数，所以对于 \(j > i + 1\) 的，根据 \(a[i][j] = a[i][j - 1] +a[i - 1][j - 1]\)，就可以推出\(a[i]\) 的前 \(l\) 项。这里只做了 \(O(nl)\)次加法运算。时间复杂度 \(O(n^2({m \over w})^2 + nl{m \over w})\)，期望得分 \(100\) 分。