偽多項式時間 Pseudo-polynomial time

2018-03-15 14:20:08

偽多項式時間：如果一個算法的傳統時間復雜度是多項式時間的，而標准時間復雜度不是多項式時間的，則我們稱這個算法是偽多項式時間的。

想要理解“偽多項式時間”，我們需要先給出“多項式時間”的一個清楚的定義。

對於“多項式時間”，我們的直觀概念是時間復雜度,其中是一常數。比如，選擇排序的時間復雜度是，是多項式時間；暴力解決TSP問題的時間復雜度是，不是多項式時間。我們稱這種時間復雜度為“傳統時間復雜度”。

我們通常認為傳統時間復雜度中的變量 表示數據的輸入規模。比如，選擇排序中， 指待排序數組中元素的個數；TSP問題中 表示圖中節點的數量。但是，這些所謂的輸入規模，僅僅是直觀的定義，並不足夠嚴謹。為了標准化這些 ，在計算標准時間復雜度時，我們給出了輸入規模的標准定義：

一個問題的輸入規模是保存輸入數據所需要的bit位數。

了解了輸入規模的定義，我們來看“多項式時間”的標准定義：

對於一個問題，在輸入規模為x的情況下，如果一個算法能夠在O()時間內解決此問題，則我們稱此算法是多項式時間的，其中為一常數。

排序問題：用選擇排序對元素個數為的數組進行排序時，傳統時間復雜度為。輸入規模，因此，得到的標准時間復雜度是，仍然是多項式時間。因為這的n是只輸入數據的數目。

素數測試： 給定數字 n，通過從 2 到根號 n 的整數遍歷，判斷 n 是否為素數。看似時間復雜度是O(n)，但是這里的n是輸入數字的大小，真實的輸入規模為 x = logn，因此實際的時間復雜度是O(x ^ 2)，是指數級的時間復雜度。這就是個偽多項式時間復雜度。