最近論文中經常遇到分圓多項式，現在系統的學習一下！
本原單位根
之前介紹n次單位根，現在詳細學習一下n次本原單位根（n-th primitive unit root）
一個復數是n次單位根，當且僅當具有以下性質：
\[cos(k2\pi /n) +isin(k 2\pi /n) \]
由於:
\[cos(k2\pi /n) +isin(k 2\pi /n)=(cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n))^k \]
故若令
\[\zeta=cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n \]
則一個復數是n次單位根。當且僅當它是\(\zeta\)的整數次方，由此可見，所有的n次單位根在乘法下作成一個循環群，其中\(\zeta\)是該循環群的生成元。
當取\(k=0,1,2,3...,n-1\)時，我們可以得到n個n次單位根：
\[1,\zeta^1,\zeta^2,...,\zeta^{n-1} \]
性質：
1、若用平面上的點代表復數，把這n個單位根的點用線連接起來便是單位圓的一個內接正n變形。
2、這n個n次單位根都不同
3、\(\zeta^n=1\)
總結一下：
1、復數域中恰好有n個n次單位根，它們在乘法下作一個n元循環群
2、其中\(\zeta\)是該循環群的一個生成元，這n元循環群的生成元素成為n次本元單位根
3、n元循環群共有\(\varphi(n)\)個生成元素，所有共有\(\varphi(n)\)個n次本原單位根
定義
假設\(\varphi(n)\)個n次本原單位根是\(\zeta_1,\zeta_2,...,\zeta_{\varphi(n)}\)。
則\(\phi_n(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)...(x-\zeta_{\varphi(n)})\)成為分圓多項式。
1、n=1時，生成元\(cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n)=1\)，即\(\varphi(1)=1\)，故\(\phi_1(x)=x-1\)
更多的參考下main的舉例！
還有一種定義法，后面再學習吧！
舉例
應用
在同態加密中，用到最多的一個性質是：
\[\phi_{2^h}(x)=x^{2{h-1}}+1 \]
，所以對於一個2的冪次\(N=2^k\)，所謂的第2N個分圓多項式就是指:
\[\phi_{2N}(X)=X^N+1 \]