二進制
轉換
二進制轉十進制：數字x基數^位次冪+
例如：二進制數0101用十進制表示的數就是：1x2^0 + 0x2 ^1 + 1x2 ^2 + 0x2 ^3 = 5
十進制轉二進制1.(短除法)：除2取余（從下往上取）
十進制轉二進制2.：與二進制轉十進制相反
七種位運算
& ：按位與（AND）(∪)a&b 把ab轉化為二進制，對於每一位，如果ab這一位都是1，這該位是1，否者為0.將所有位的結果累加
- 遇0則0。如：1 & 1=1,1 & 0=0。只要有0結果就是0。
| ：按位或（OR）(∩)a | b 把ab轉化為二進制，對於每一位，如果ab至少有一個是1，則該位結果是1，否者為0.將所有位的結果累加
- 遇1則1。如：1 | 1=1,1 | 0=1。只要有1結果就是1。
~：取反（NOT）(¬)，1-0 0-1
^ ：按位異或（XOR）(⊕)a ^ b 把a b轉化為二進制，對於每一位，如果a b恰好有一個是1，則該位結果是1，否者為0.然后將結果轉化為十進制
- 口訣：不進位加（相同為0，相異為1）。如：1 ^ 0=1,1 ^ 1=0。
" >> "：右移a>>b 把a轉化為二進制，把所有數位向右移動b個位置，相當於a / 2的b次冪
" << "：左移a<<b 把a轉化為二進制，把所有數位向左移動b個位置，新多的位置補零 ，相當於a * 2的b次冪
" >>> "：無符號右移。不管符號位是0還是1，都是補0。
博弈論Nim取子問題簡單理解（證明）
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基礎知識
- 通常會將先手必敗的局面稱為奇異局勢。
- 減去某一個數，等價於將被減數當中若干個0變成1，1變成0。
- 可以證明:任何一個偶狀態在其中一個數變小后
一定成為奇狀態,而一個奇狀態一定可以通過改變一個數變成偶狀態.
先是3堆石子
關鍵：
- 我們有3個數，如果這三個數的每一位的1的數量和都是偶數，也就是數量和不是0就是2的話，那么這一定是一個奇異局面。
舉個例子，比如[10, 8, 2]是一個奇異局面，我們把它們寫成二進制。10的二進制是1010，8的二進制是1000，2的二進制是10。所以我們可以發現這三個數的二進制位加起來，第1、2、3位都出現了兩個1。這個時候先手不論如何操作，后手只需要保證剩下的三個數的二進制位維持這個特性即可。這樣做可以保證最后一次拿取結束之后，給先手留下[0, 0, 0]的局面。本質上來說，它的原理和兩堆石子的時候是一樣的，只不過轉化了一種形式。
舉個例子，比如我們從10當中拿走3顆石子，得到(7, 8, 2)，我們觀察二進制位分別是111, 1000, 10。會發現每一位1的數量從低到高分別是[1, 2, 1, 1]。所以我們可以從1000拿取3個石子，保證留下的數量是101，也就是5。這樣剩下的1的個數就是[2, 2, 2]，依然是偶數。所以先手不論如何拿，后手都可以保證一定可以讓留下的數字在二進制上保持偶數，先手一定必敗。在不滿足這個條件的局面當中先手一定必勝，因為先手可以在第一次通過拿取掉多余的1，保證留下一個必敗的局面給后手。
這也是這題的解法，即通過二進制位來判斷是否先手必勝。
- 判斷每個二進制位當中出現的1的次數和是否是偶數，可以通過位運算的
亦或來完成。（在亦或操作當中，對每一個二進制位進行計算，奇數為1，偶數為0。所以我們只需要計算一下這三堆石子亦或之后的結果是否為0，就可以知道是否每一個二進制位的1的數量是否都是偶數了。）
def win_or_lose(a, b, c):
return (a ^ b ^ c) == 0
推廣 Bouton定理
定理的內容是
先手可以在非平衡的Nim博弈中取勝，
而后手可以在平衡的Nim博弈中取勝。
（這里的 平衡 就是指的是所有二進制位1的數量是偶數。）
def win_or_lose(nums):
ret = 0
for i in nums:
ret ^= i
return ret == 0
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一. 巴什博弈（Bash Game）
只有一堆n個物品，兩個人從輪流中取出（1~m）個；最后取光者勝。
考慮到 若n=m+1 那么 第一個人不論如何取都不能取勝。
進一步我們發現 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 個，那么后者再拿（1~m）個
n=（k-1）*（m+1）+s； 先取者再拿走s 個 最后總能造成 剩下n=m+1 的局面。
因此，此時先手有必贏策略。
相對應的，若n=k*(m+1) 那么先取者必輸。
因此我們可以寫出對應的程序（默認 n m都大於0）
int Bash_Game(int n,int m)
//是否先手有必贏策略
{
if (n%(m+1)!=0) return 1;
return 0;
}
二、尼姆博弈(Nimm Game)
題目： 當有N堆，每堆有Mi>0個物品，依舊是兩個人來取該怎么判斷？
int Nimm_Game(int n)//假設n個數存在數組f[]中,有必勝策略返回1
{
int flag=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
flag^=f[i];
if(flag) return 1;
return 0;
}
三 威佐夫博奕（Wythoff Game）
問題： 有兩堆各若干個物品，
兩個人輪流從某一堆取同樣多的物品
--或 --同時從兩堆中取同樣多的物品，
規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
下面就沒學
作 者：Angel_Kitty
出 處：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/
關於作者：阿里雲ACE，目前主要研究方向是Web安全漏洞以及反序列化。如有問題或建議，請多多賜教！
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實戰.
B - Road to Arabella
Gym - 102263B
題意：
-
給一個n和k，
-
每個人每次可以1~data=max(1,n-k)中選一個數，然后把n減去這個數。（n實時更新）
-
n為0時游戲結束。
思路： -
當data=1時，只能選1。只要這時的n是偶數，那么每次輪到Ayoub選時n都是奇數，輪到Kilani選時n都是奇數，那么Ayoub是必勝的。
-
當n>k+1時Kilani永遠是必勝態，因為他可以讓自己選的時候n為奇數。
#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
int t, n, k;
int flag;
cin >> t;
while (t--) {
flag = 1;
cin >> n >> k;
if ((n - k == 1 )||(n-k==0))
if(n % 2 == 0)flag = 0;
if (flag)cout << "Kilani\n";
else cout << "Ayoub\n";
}
}