[瞎搞]Beta 函數閑談

ajthreac 又來學沒用的東西了
屑 ajthreac 並沒有系統地學習過數學分析，僅僅是因為看到有題可以用它優化而學習，以下的一些證明很有可能是瞎扯
Beta 函數是與第二類歐拉積分 Gamma 函數齊名的第一類歐拉積分。
Beta 函數的定義：\(\Beta(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x\)，顯然 \(\Beta(p,q)=\Beta(q,p)\)。
它擁有一個美妙的性質：\(\Beta(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)。
證明很簡單，代換一下就出來了：

\[\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q)&=\int_0^{+\infty}\text{e}^{-s}s^{p-1}\text{d}s\int_0^{+\infty}\text{e}^{-t}t^{q-1}\text{d}t\\ &=4\int_0^{+\infty}\text{e}^{-x^2}x^{2p-1}\text{d}x\int_0^{+\infty}\text{e}^{-y^2}y^{2q-1}\text{d}y\\ &=4\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\text{e}^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1}\text{d}x\text{d}y\\ &=4\int_0^{+\infty}\text{e}^{-\rho^2}\rho^{2(p+q)-1}\text{d}\rho\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\text{d}\theta\\ &=\int_0^{+\infty}\text{e}^{-t}t^{p+q-1}\text{d}t\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x\\ &=\Gamma(p+q)\Beta(p,q) \end{aligned} \]

先把 \(s,t\) 換成 \(x^2,y^2\)，然后對 \(x,y\) 進行極坐標代換，最后把 \(\rho^2,\cos^2\theta\) 換成 \(t,x\)。
那么由於當 \(p,q\) 為正整數時 \(\Gamma\) 函數是階乘，所以它的特殊情況 \(\Beta(p,q)=\dfrac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\) 可能會用於推導一些美妙的式子。
例題：CF1153F。
在一些有趣的題目中提到了這題的常規 dp 做法，可以先看看那里是怎么做的。（那篇博客暫時沒有發出來）
首先 \([0,1)\) 上一個點 \(x\) 被隨機線段覆蓋的概率顯然是 \(1-x^2-(1-x)^2=2x(1-x)\)。
然后枚舉線段條數就得到被不少於 \(k\) 條線段覆蓋的概率 \(\sum\limits_{i=k}^n\dbinom{n}{i}[2x(1-x)]^i[1-2x(1-x)]^{n-i}\)。
那么根據定義最終的期望為：

\[\begin{aligned} &\int_0^1\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}[2x(1-x)]^i[1-2x(1-x)]^{n-i}\text{d}x\\ =&\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{n-i}\binom{n-i}{j}(-1)^j\int_0^1[2x(1-x)]^i[2x(1-x)]^j\text{d}x\\ =&\sum_{i=k}^n\sum_{j=0}^{n-i}\binom{n}{i}\binom{n-i}{j}(-1)^j2^{i+j}\Beta(i+j+1,i+j+1)\\ \end{aligned} \]

然后對組合數作一下變換 \(\dbinom{n}{i}\dbinom{n-i}{j}=\dbinom{n}{i+j}\dbinom{i+j}{j}\) 就可以直接對 \(i+j\) 換元了。

\[\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}2^i\Beta(i+1,i+1)\sum_{j=0}^{i-k}(-1)^j\binom{i}{j} \]

然后到這暴力的讀者已經可以展開 \(\Beta\) 快樂卷積了，不過記性好的讀者可能想起來同行二項式系數的交錯和 \(\sum\limits_{j=0}^{i-k}(-1)^j\dbinom{i}{j}=(-1)^{i-k}\dbinom{i-1}{i-k}\)。
所以最終我們就可以 \(O(n)\) 求解 \(\sum\limits_{i=k}^n\dbinom{n}{i}\dbinom{i-1}{i-k}(-1)^{i-k}2^i\Beta(i+1,i+1)\) 了！足足碾掉了 std 一個 \(n\) 並且不像卷積做法受到模數的限制！

通過上面這題的推導我們發現 Beta 函數這種看起來和 OI 毫不相干的東西也有可能在某些題目上展現驚人的作用，毒瘤出題人可以嘗試利用。