動態規划（背包問題）

16. 動態規划

16.1 應用場景

背包問題，有一個背包，容量為4磅，現有如下物品

物品	重量	價格
吉他（G）	1	1500
音響（S）	4	3000
電腦（L）	3	2000

1. 要求 講物品裝入背包，在不超出容量的情況下使背包的總價值最大
2. 要求裝入的物品不能重復

16.2動態規划算法介紹

1. 動態規划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：講大問題划分為小問題，進行解決，從而進一步獲取最優解得處理算法
2. 動態規划算法與分治算法類似，其基本思想也是講待求解問題分解成若干子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解
3. 與分治法不同的是，適合於動態規划求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。（即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的基礎上進行進一步求解）
4. 動態規划可以 通過填表的方式 來逐步推進，得到最優解

16.3 背包問題

• 背包問題主要是指一個給定容量的背包，若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入背包使物品的價值最大，其中又分為 01背包（所有物品不能重復）和 完全背包（完全背包指的是：每種物品都有無限件可使用）
• 這里 的問題屬於01背包，即每個物品最多放一個，而無限背包可以轉化成01背包

算法主要思想：

利用動態規划來解決。每次遍歷到第i個物品，根據w[i](第i個物品的重量)和v[i]（第i個物品的價格）來確定是否需要將該物品放入背包，即對於給定的 n個物品，設v[i], w[i]分別為第i個物品的價值和重量，C為背包的容量。再令v[i][j]表示在前i個物品中能夠裝入容量為j的背包的最大價值。則我們有下面的結果：

1. v[i][0] = v[0][j] = 0; // 將第一行第一列置為0
2. 當w[i]>j時，v[i][j] = v[i-1][j]; // 當准備加入新增的商品容量 大於 當前背包容量時，就采用上一個單元格的裝入策略
3. 當w[i]<j時，v[i][j] = max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} // 當准備加入的商品容量 小於等於 當前背包的容量，裝入的策略變成求一個最大值（v[i-1][j]:就是上一個單元格的裝入策略；v[i]:表示當前商品的價值；v[i-1][j-w[i]]:裝入 i-1商品，到剩余空間j-w[i]的值）

package dynamic;

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1, 4, 3}; // 物品的重量
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; // 物品的價值 這里的val[i],就是前面講的v[i]
        int m = 4; // 背包的容量
        int n = val.length; // 物品的個數



        // 創建二維數組
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];

        // 為了記錄放入商品的情況，
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        // 初始化第一行，第一列，在本程序中可以省略，因為默認就是0
        for (int i = 0; i < v.length; i++){
            v[i][0] = 0; // 將第一列設置為0
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++){
            v[0][i] = 0; // 將第一行設置為0
        }
        // 根據前面得到公式來進行動態規划處理
        for (int i = 1; i < v.length; i++){ // 不處理第一行
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++){ // 不處第一列
                if (w[i - 1] > j) { // 因為我們的程序是從1開始的，所以原來公式要修改成i-1
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                } else {
                    // 因為我們的i是從1開始，因此公式要進行調整 v[i] 變成 val[i-1]
                    //v[i][j] = Math.max(v[i-1][j],(val[i - 1]+v[i-1][j - w[i - 1]]));
                    // 為了記錄商品種類放進背包的情況，我們不能使用上面簡單地公式進行處理，需要使用if-else
                    if (v[i-1][j] > (val[i - 1]+v[i-1][j - w[i - 1]])){
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                        // 把當前情況記錄到path
                    } else {
                        v[i][j] = (val[i - 1]+v[i-1][j - w[i - 1]]);
                        path[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }
        // 輸出一下v, 查看情況
        for (int i = 0; i < v.length; i++){
            for (int j = 0; j < v[i].length ; j++){
                System.out.print(v[i][j]+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("------------------------------------");
        // 輸出我們時放入的那些商品
        int row = path.length - 1;    // 行的最大下標
        int line = path[0].length - 1;     // 列的最大下標
        while ( row > 0 && line > 0){ //從path最后開始循環

            if (path[row][line] == 1){
                System.out.printf("第%d個商品放入背包\n",row);
                line -= w[row-1];
            }
            row--;
        }
    }
}