后台天天有人問背包問題，這個問題其實不難啊，如果我們號動態規划系列的十幾篇文章你都看過，借助框架，遇到背包問題可以說是手到擒來好吧。無非就是狀態 + 選擇，也沒啥特別之處嘛。
今天就來說一下背包問題吧，就討論最常說的 0-1 背包問題。描述：
給你一個可裝載重量為 W 的背包和 N 個物品，每個物品有重量和價值兩個屬性。其中第 i 個物品的重量為 wt[i]，價值為 val[i]，現在讓你用這個背包裝物品，最多能裝的價值是多少？
舉個簡單的例子，輸入如下：
N = 3, W = 4
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
算法返回 6，選擇前兩件物品裝進背包，總重量 3 小於 W，可以獲得最大價值 6。
題目就是這么簡單，一個典型的動態規划問題。這個題目中的物品不可以分割，要么裝進包里，要么不裝，不能說切成兩塊裝一半。這就是 0-1 背包這個名詞的來歷。
解決這個問題沒有什么排序之類巧妙的方法，只能窮舉所有可能，根據我們「動態規划詳解」中的套路，直接走流程就行了。
動規標准套路
看來我得每篇動態規划文章都得重復一遍套路，歷史文章中的動態規划問題都是按照下面的套路來的。
第一步要明確兩點，「狀態」和「選擇」。
先說狀態，如何才能描述一個問題局面？只要給幾個物品和一個背包的容量限制，就形成了一個背包問題呀。所以狀態有兩個，就是「背包的容量」和「可選擇的物品」。
再說選擇，也很容易想到啊，對於每件物品，你能選擇什么？選擇就是「裝進背包」或者「不裝進背包」嘛。
明白了狀態和選擇，動態規划問題基本上就解決了，只要往這個框架套就完事兒了：
for 狀態1 in 狀態1的所有取值：
for 狀態2 in 狀態2的所有取值：
for ...
dp[狀態1][狀態2][...] = 擇優(選擇1，選擇2...)
PS：此框架出自歷史文章「團滅 LeetCode 股票問題」。
第二步要明確 dp 數組的定義。
首先看看剛才找到的「狀態」，有兩個，也就是說我們需要一個二維 dp 數組。
dp[i][w] 的定義如下：對於前 i 個物品，當前背包的容量為 w，這種情況下可以裝的最大價值是 dp[i][w]。
PS：為什么要這么定義？便於狀態轉移，或者說這就是套路，記下來就行了。建議看一下我們的動態規划系列文章，幾種套路都被扒得清清楚楚了。
根據這個定義，我們想求的最終答案就是 dp[N][W]。base case 就是 dp[0][..] = dp[..][0] = 0，因為沒有物品或者背包沒有空間的時候，能裝的最大價值就是 0。
細化上面的框架：
int dp[N+1][W+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
把物品 i 裝進背包,
不把物品 i 裝進背包
)
return dp[N][W]
第三步，根據「選擇」，思考狀態轉移的邏輯。
簡單說就是，上面偽碼中「把物品 i 裝進背包」和「不把物品 i 裝進背包」怎么用代碼體現出來呢？
這就要結合對 dp 數組的定義和我們的算法邏輯來分析了：
先重申一下剛才我們的 dp 數組的定義：
dp[i][w] 表示：對於前 i 個物品，當前背包的容量為 w 時，這種情況下可以裝下的最大價值是 dp[i][w]。
如果你沒有把這第 i 個物品裝入背包，那么很顯然，最大價值 dp[i][w] 應該等於 dp[i-1][w]，繼承之前的結果。
如果你把這第 i 個物品裝入了背包，那么 dp[i][w] 應該等於 dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]。
由於 i 是從 1 開始的，所以對 val 和 wt 的取值是 i-1。
而 dp[i-1][w - wt[i-1]] 也很好理解：你如果裝了第 i 個物品，就要尋求剩余重量 w - wt[i-1] 限制下的最大價值，加上第 i 個物品的價值 val[i-1]。
綜上就是兩種選擇，我們都已經分析完畢，也就是寫出來了狀態轉移方程，可以進一步細化代碼：
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]
)
return dp[N][W]
最后一步，把偽碼翻譯成代碼，處理一些邊界情況。
我用 C++ 寫的代碼，把上面的思路完全翻譯了一遍，並且處理了 w - wt[i-1] 可能小於 0 導致數組索引越界的問題：
int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
// base case 已初始化
vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int w = 1; w <= W; w++) {
if (w - wt[i-1] < 0) {
// 這種情況下只能選擇不裝入背包
dp[i][w] = dp[i - 1][w];
} else {
// 裝入或者不裝入背包，擇優
dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1],
dp[i - 1][w]);
}
}
}
return dp[N][W];
}
至此，背包問題就解決了，相比而言，我覺得這是比較簡單的動態規划問題，因為狀態轉移的推導比較自然，基本上你明確了 dp 數組的定義，就可以理所當然地確定狀態轉移了。
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