0-1背包問題（動態規划）

一、實驗內容
運用動態規划算法解決矩陣連乘問題（或流水作業調度、或背包問題）
使用動態規划算法解決0-1背包問題。

二、所用算法基本思想及復雜度分析
1.算法基本思想
動態規划基本思想是一種在數學、計算機科學和經濟學中經常使用的，通過把原問題分解為相對簡單的子問題的方式求解復雜問題的方法，但是經分解得到的子問題往往不是互相獨立的，不同子問題的數目常常只有多項式量級。

2.問題分析及算法設計
問題分析：
（1） 有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的背包，如何讓背包里裝入的物品具有最大的價值總和。
（2） 根據動態規划解題的步驟（首先進行問題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優性原理、找大問題與小問題的遞推關系式、填表、尋找解組成）。
（3） 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)。
（4） 尋找約束條件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity。
（5） 得到遞推關系式，然后填表。
（6） 找出0-1背包問題的最優解以及解組成，然后編寫代碼實現。

算法設計：
（1） 通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題里需要用到的子問題可以直接提取，避免了重復計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之后，用動態規划解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。
（2） 特例：

3. 算法復雜度分析
   01背包問題屬於NP問題之一，每個物品有選和不選兩種策略，若采用暴力搜索算法，其時間復雜度為O(2^{n)，而采用動態規划的方式，則可以將時間復雜度從O(2}n)降到O(n^2)，通過自底向上逐層遞推可以求得最優解。

三、源程序核心代碼及注釋（截圖）

四、運行結果

五、調試和運行程序過程中產生的問題及解決方法，實驗總結（5行以上）
剛剛學習動態規划時調試運行，感覺數據變換的順序太復雜，然后去百度，看各優秀博主的講解和特例，然后再結合自己的代碼，簡單的畫了草圖，然后跟據自己所畫的草圖，結合表中的數據來一個一個的調試，這使得調試的過程變得簡單易懂。這次動態規划的實驗，讓我對動態規划有了初步的認識，也明白了最優化原理是動態規划的基礎，它主要是不論前面決策如何，都對后各階段的決策序列必須構成最優策略。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 401;
const int M = 1501;

int V[N][M];


int max(int a, int b)
{
	if (a > b)
		return a;
	else
		return b;
}

int dpKnapSack(int n, int c, int w[], int v[])
{
	int i, j;

	for (j = 0; j <= c; j++)
	{
		V[0][j] = 0;//當沒裝物品時，價值統一為0
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)//物體編號
	{
		for (j = 1; j <= c; j++)//背包容量
		{
			if (j < w[i])//沒裝第i件物品
				V[i][j] = V[i - 1][j];
			else//裝第i件物品
				V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	return V[n][c];
}

int main()
{
	int w[N], v[N];
	int n, c, i;

	while (scanf("%d%d", &n, &c) != EOF) {
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			cin >> w[i];
		}
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			cin >> v[i];
		}
		cout << dpKnapSack(n, c, w, v) << endl;
	}
	return 0;
}