有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的重量是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的重量總和不超過背包容量，且價值總和最大。在選擇裝入背包的物品時，對於每種物品i，只能選擇裝包或不裝包，不能裝入多次，也不能部分裝入，因此成為0-1背包問題。
形式化描述為：給定n個物品，背包容量C >0,重量 第i件物品的重量w[i]>0, 價值v[i] >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(X1,X2,…,Xn,), Xi∈{0,1}, 使得 ∑（w[i] * Xi） ≤C,且∑ v[i] * Xi達最大.即一個特殊的整數規划問題。
數學描述為：
求解最優值：
設最優值m(i,j)為背包容量為j、可選擇物品為i，i+1，……，n時的最優值(裝入包的最大價值)。所以原問題的解為m(1，C)
將原問題分解為其子結構來求解。要求原問題的解m(1，C)，可從m(n，C)，m(n-1，C)，m(n-2，C).....來依次求解，即可裝包物品分別為（物品n）、（物品n-1，n）、（物品n-2，n-1，n）、……、（物品1，物品2，……物品n-1，物品n）。最后求出的值即為最優值m(1，C)。
若求m(i,j)，此時已經求出m(i+1,j)，即第i+1個物品放入和不放入時這二者的最大值。
對於此時背包剩余容量 j=0,1,2,3……C，分兩種情況：
(1)當 w[i] > j ，即第i個物品重量大於背包容量j時，m(i,j)=m(i+1,j)
(2)當 w[i] <= j ，即第i個物品重量不大於背包容量j時，這時要判斷物品i放入和不放入對m的影響。
若不放入物品i，則此時m(i,j)=m(i+1,j)
若放入物品i，此時背包剩余容量為 j-w[i]，在子結構中已求出當容量k=0,1,2……C 時的最優值m(i+1,k)。所以此時m(i,j)=m(i+1,j-w[i])+v[i]。
取上述二者的最大值，即m(i,j) = max{ m(i+1,j)，m(i+1,j-w[i])+v[i] }
總結得出狀態轉移方程為：
該算法的python代碼實現：
1 # 0-1背包問題 2 __author__ = 'ice' 3 4 5 # 背包容量0~capacity,不是0~capacity-1 6 def knapsack(weight, value, capacity): 7 if len(weight) != len(value): 8 print("parameter err!") 9 return 10 obj_num = len(weight) 11 result = [[] for x in range(obj_num)] 12 divide = min(weight[-1], capacity) 13 result[-1] = [0 for x in range(divide)] 14 result[-1].extend(value[-1] for x in range(divide, capacity + 1)) 15 for i in reversed(list(range(1, obj_num - 1))): 16 divide = min(weight[i], capacity) 17 for j in range(divide): 18 result[i].append(result[i + 1][j]) 19 for j in range(divide, capacity + 1): 20 result[i].append(max(result[i + 1][j], result[i + 1][j - weight[i]] + value[i])) 21 22 result[0] = {capacity: result[1][capacity]} 23 if weight[0] <= capacity: 24 result[0][capacity] = max(result[1][capacity], result[1][capacity - weight[0]] + value[0]) 25 26 vector = [0 for x in range(obj_num)] 27 capacity_temp = capacity 28 for i in range(obj_num - 1): 29 if result[i][capacity_temp] != result[i + 1][capacity_temp]: 30 vector[i] = 1 31 capacity_temp -= weight[i] 32 33 if capacity_temp == 0: 34 vector[-1] = 0 35 else: 36 vector[-1] = 1 37 38 return {'total_value': result[0][capacity], 'select': vector}
但是，但是！！該算法有兩個明顯的缺點：1，基於上述代碼，因為數組索引的需要，要求所給物品重量為整數。2，當背包容量C很大時，算法所需計算時間較多。當C>2^n時，需要Ω(n*2^n)計算時間。
所以，所以！！改進算法如下：
對於函數m(i,j)的值，當i確定，j為自變量時，是單調不減的跳躍式增長，如圖所示。而這些跳躍點取決於在（物品i，物品i+1，……物品n）中選擇放入哪些物品使得在放入重量小於容量 j (0<=j<=C)的情況下m取得最大值。對於每一個確定的i值，都有一個對應的跳躍點集Pi={ ( j, m(i,j) )，……}。j始終小於等於C
(1)開始求解時，先求Pi，初始時Pn+1={(0，0)}，i=n+1，由此按下列步驟計算Pi-1，Pi-2……P1，即Pn，Pn-1，……P1
(2)求Qi，利用Pi求出m（i，j-w[i-1]）+v[i-1]，即Pi當放入物品i-1后的變化后的跳躍點集Qi={ ( j+w[i-1], m(i,j)+v[i-1] )，……}，在函數圖像上表現為所有跳躍點橫軸坐標右移w[i-1]，縱軸坐標上移v[i-1]。
(3)求Pi-1，即求Pi∪Qi然后再去掉受控跳躍點后的點集。此處有個受控跳躍點的概念：若點(a,b)，(c,d)∈Pi∪Qi，且a<=c，b>d，則(c,d)受控於(a,b)，所以(c,d)∉Pi-1。去掉受控跳躍點，是為了求得在物品i-1放入后m較大的點，即 使m取最優值的跳躍點。
由此計算得出Pn，Pn-1，……，P1。求得P1的最后那個跳躍點即為所求的最優值m(1,C)。
舉個栗子：
n=5，c=10，w={2，2，6，5，4}，v={6，3，5，4，6}。跳躍點的計算過程如下：
初始時p[6]={(0,0)}
因此，q[6]=p[6]⊕(w[5],v[5])={(4,6)}
p[5]={(0,0),(4,6)}
q[5]=p[5]⊕(w[4],v[4])={(5,4),(9,10)}
p[4]={(0,0),(4,6),(9,10)} p[5]與q[5]的並集p[5]∪q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}中跳躍點(5,4)受控於跳躍點(4,6)。將受控跳躍點(5,4)清除后，得到p[4]
q[4]=p[4]⊕(6，5)={(6，5)，(10，11)}
p[3]={(0，0)，(4，6)，(9，10)，(10，11)}
q[3]=p[3]⊕(2，3)={(2，3)，(6，9)}
p[2]={(0，0)，(2，3)，(4，6)，(6，9)，(9，10)，(10，11)}
q[2]=p[2]⊕(2，6)={(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}
p[1]={(0，0)，(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}
p[1]的最后的那個跳躍點(8,15)即為所求的最優值，m(1,C)=15
最后，python代碼的實現：
1 class Point: 2 def __init__(self, x, y): 3 self.x = x 4 self.y = y 5 6 7 # 0-1背包問題 改進 8 def knapsack_improve(weight, value, capacity): 9 if len(weight) != len(value): 10 print("parameter err!") 11 return 12 obj_num = len(weight) 13 jump_points_p = [[] for x in range(obj_num)] 14 jump_points_q = [[] for x in range(obj_num)] 15 jump_points_p.append([Point(0, 0)]) 16 jump_points_q.append([Point(weight[obj_num - 1], value[obj_num - 1])]) 17 for i in reversed(list(range(1, obj_num))): 18 jump_points_p[i] = merge_points(jump_points_p[i + 1], jump_points_q[i + 1]) 19 jump_points_q[i] = [Point(point.x + weight[i - 1], point.y + value[i - 1]) for point in jump_points_p[i] if 20 point.x + weight[i - 1] <= capacity] 21 result = merge_points(jump_points_p[1], jump_points_q[1]) 22 return result 23 24 25 def merge_points(points_x, points_y): 26 x_len = len(points_x) 27 y_len = len(points_y) 28 merged_points = [] 29 i = j = 0 30 while True: 31 if i == x_len or j == y_len: 32 break 33 if points_x[i].x < points_y[j].x: 34 merged_points.append(points_x[i]) 35 if points_x[i].y >= points_y[j].y: 36 j += 1 37 i += 1 38 else: 39 merged_points.append(points_y[j]) 40 if points_y[j].y >= points_x[i].y: 41 i += 1 42 j += 1 43 while i < x_len: 44 if points_x[i].x > merged_points[-1].x and points_x[i].y > merged_points[-1].y: 45 merged_points.append(points_x[i]) 46 i += 1 47 while j < y_len: 48 if points_y[j].x > merged_points[-1].x and points_y[j].y > merged_points[-1].y: 49 merged_points.append(points_y[j]) 50 j += 1 51 return merged_points 52 53 54 result = knapsack_improve([2, 2, 6, 5, 4], [6, 3, 5, 4, 6], 10) 55 print() 56 for point in result: 57 print('(' + str(point.x) + ',' + str(point.y) + ')', end=' ') 58 59 #(0,0) (2,6) (4,9) (6,12) (8,15)