动态规划（背包问题）

16. 动态规划

16.1 应用场景

背包问题，有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

物品	重量	价格
吉他（G）	1	1500
音响（S）	4	3000
电脑（L）	3	2000

1. 要求 讲物品装入背包，在不超出容量的情况下使背包的总价值最大
2. 要求装入的物品不能重复

16.2动态规划算法介绍

1. 动态规划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：讲大问题划分为小问题，进行解决，从而进一步获取最优解得处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是讲待求解问题分解成若干子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解
3. 与分治法不同的是，适合于动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础上进行进一步求解）
4. 动态规划可以 通过填表的方式 来逐步推进，得到最优解

16.3 背包问题

• 背包问题主要是指一个给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大，其中又分为 01背包（所有物品不能重复）和 完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可使用）
• 这里 的问题属于01背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转化成01背包

算法主要思想：

利用动态规划来解决。每次遍历到第i个物品，根据w[i](第i个物品的重量)和v[i]（第i个物品的价格）来确定是否需要将该物品放入背包，即对于给定的 n个物品，设v[i], w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包的最大价值。则我们有下面的结果：

1. v[i][0] = v[0][j] = 0; // 将第一行第一列置为0
2. 当w[i]>j时，v[i][j] = v[i-1][j]; // 当准备加入新增的商品容量 大于 当前背包容量时，就采用上一个单元格的装入策略
3. 当w[i]<j时，v[i][j] = max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} // 当准备加入的商品容量 小于等于 当前背包的容量，装入的策略变成求一个最大值（v[i-1][j]:就是上一个单元格的装入策略；v[i]:表示当前商品的价值；v[i-1][j-w[i]]:装入 i-1商品，到剩余空间j-w[i]的值）

package dynamic;

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1, 4, 3}; // 物品的重量
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; // 物品的价值 这里的val[i],就是前面讲的v[i]
        int m = 4; // 背包的容量
        int n = val.length; // 物品的个数



        // 创建二维数组
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];

        // 为了记录放入商品的情况，
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        // 初始化第一行，第一列，在本程序中可以省略，因为默认就是0
        for (int i = 0; i < v.length; i++){
            v[i][0] = 0; // 将第一列设置为0
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++){
            v[0][i] = 0; // 将第一行设置为0
        }
        // 根据前面得到公式来进行动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++){ // 不处理第一行
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++){ // 不处第一列
                if (w[i - 1] > j) { // 因为我们的程序是从1开始的，所以原来公式要修改成i-1
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                } else {
                    // 因为我们的i是从1开始，因此公式要进行调整 v[i] 变成 val[i-1]
                    //v[i][j] = Math.max(v[i-1][j],(val[i - 1]+v[i-1][j - w[i - 1]]));
                    // 为了记录商品种类放进背包的情况，我们不能使用上面简单地公式进行处理，需要使用if-else
                    if (v[i-1][j] > (val[i - 1]+v[i-1][j - w[i - 1]])){
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                        // 把当前情况记录到path
                    } else {
                        v[i][j] = (val[i - 1]+v[i-1][j - w[i - 1]]);
                        path[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }
        // 输出一下v, 查看情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++){
            for (int j = 0; j < v[i].length ; j++){
                System.out.print(v[i][j]+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("------------------------------------");
        // 输出我们时放入的那些商品
        int row = path.length - 1;    // 行的最大下标
        int line = path[0].length - 1;     // 列的最大下标
        while ( row > 0 && line > 0){ //从path最后开始循环

            if (path[row][line] == 1){
                System.out.printf("第%d个商品放入背包\n",row);
                line -= w[row-1];
            }
            row--;
        }
    }
}