[原創]當我們看到微積分中的那些符號時我們聯想到了什么？

本文轉載自查看原文 2021-06-06 12:19 3024 數學

微積分的符號系統，或者說記號系統，英文教材中稱之為notation，用來標記某種操作，某一系列的操作或者某個概念，這些符號比較讓人難以想象到對應的具體操作是什么，因為這些符號都是從國外的文化中引申得來的，語言、文字和符號的含義都深深的刻上了國外文化的痕跡，直接看這些符號和他所代表的含義，對於我們而言難免有陌生不合邏輯的感覺，因為看到一個符號所聯想到的文化和情感，看到一個符號所引起的直覺就不一樣，從而對理解這些記號系統所代表的具體的數學運算產生了阻礙。當這些記號系統不能成為精確的表達、提醒和記憶的輔助，反而成為了理解的障礙的時候，應該怎么做呢？誰來改進這些符號系統呢？當看到某種數學表達形式的時候，要想到的是這種公式意味着什么樣的操作，這樣有助於理解數學公式所想要表達的事情的本質。平常有整理一些符號對應的含義是什么，羅列在下面，希望從符號到符號所指代的含義這一步花費的時間減少一些。文章中的截圖大多來自於《Thomas Calculus》第14版，並需要讀者稍微有一點微積分的了解。3Blue1Brown在b站上有關於微積分的視頻，講的挺好的，可以去看看~

本文時不時的會補充添加

哪個地方說的不對歡迎大家批評指正~畢竟一個人的理解有限，眾人拾柴火焰高~

1、積分符號

比如當看到積分的符號$ \int $，就是一個拉長的s，英文單詞sum(求和)的簡寫。以單獨一個變量（或者就叫做“單變量”）的積分為例，如下圖5.10。把自變量分割成幾十段，每段的長稱之為$ \Delta x $，每段$ \Delta x $對應於函數$ f\left ( x \right ) $的一小段曲線，如下圖橘黃色線段所示，把每一段曲線下方的面積求出來，然后累加求和，就是函數$ f\left ( x \right ) $與x軸所包圍的區域的面積。那么單獨的一段曲線下方的面積怎么求呢，近似，找到一個方法近似。我以這段中的任何一個值$ x_{1} $對應的函數值$ f\left ( x_{1} \right ) $ 作為這塊面積的高度，求得這塊的面積。如下圖所示。好像還有一小段曲線下的面積沒有被計算在內哎？沒關系，這塊我們不要了~這樣把每一塊都求出來，然后累加，這就是所謂的黎曼求和(Riemann sums)，就可以近似求出函數與x軸所圍成的面積。

那么現在更進一步，前面說把自變量分割成幾十段，當分的段數越來越多，越來越密時，剛才扔掉不要的部分所占的比例就會越來越少，如圖5.10 (b)，這個近似求得的面積就會接近真實的面積，無限逼近，以至於相等。把自變量分割成幾十段，平均分割還是不平均分割？都沒有關系，只要找到分成的這幾十段中最大的一個，讓最大的這個無限接近於0就好，也就是意味着分割的所有的段長度都無線接近於0，無限細密。這其實就是中的P。用$ \lim_{\left \| p \right \|\rightarrow 0} $ 表示所有的段長度都無線接近於0，無限細密，就是所謂的求極限的思想， 將積分的自變量的范圍分割成多段，比如分割成n段，這些段長短不一，其中最長的那個稱之為norm，英語里是norm of a Partition，用P來表示, 當最長的這一段都接近於0時，即為 ||P|| 接近於0時，說明我們的分割無線細了，那這個時候的累加($ \sum $，sigma求和，另一個符號，含義見下方截圖，表示累加)會無限接近一個值，這個值就稱之為積分的值，積分，英語為calculus，中文翻譯成積分，累積各個部分。為什么用$ \Sigma $表示累加呢？因為這個字母在國外的文化中有加和的含義。這么寫比較麻煩，Leibniz（萊布尼茲）使用了一種新的記號方式，，就是最開始截圖的那種記號方式。教材中是這樣說的

求解一個函數積分的時候，

應當想到的是一小段自變量區間乘以這一小段自變量區間里的函數值，求所有這樣的值的和，也就是先分割，相乘，再累加。積分這個符號實際是由累加引申得到的。

2、偏微分

任何一種名字，稱呼，或者標記，都是為了代指一種具體的概念，某個操作，某一系列的操作當作一個整體，某個具體的事物等等等等，總之都是有具體的指代，哪怕這個指代的事物本身就是從更具體的事物抽象而來的。這樣在跟別人交流的時候，就不必用實物來表達自己的想法，而只需要用名字，標記或者稱呼來就可以了。比如當我說“我喜歡蘋果”的時候，我沒有必要拿出一個蘋果給你看，然后說我喜歡“它”，而只需要直接說“我喜歡蘋果”。再比如說求積分，你就知道我是將自變量分割成幾百段幾千段，每段取一個在其中的函數值乘以段的長度，然后累加……等等這一系列的操作。再比如我說求導，你就知道是找到兩個點，求處對應的x和y值，用y的差值Δy除以x的差值Δx，當差值無限趨近於0時就是這一點的導數，直白點說就是斜率。只不過過去的科學家將求積分的過程越來越簡化，只要做幾步簡單的操作就可以，不用做這么復雜了。

偏微分，英語是partial derivative，partial的意思是“部分，局部” not complete or whole，derivative就是微分了。因為一個函數變量很多，只對其中的一個變量求微分，那就是局部微分啦，只不過翻譯時翻譯成了偏微分，這個翻譯並不是很有助於理解事情的本質。。。。。。。而用於表示偏微分的記號系統，也只是為了給出必要的信息，比如我對哪個函數求偏微分，求微分的變量是哪個自變量。

簡單來說，偏微分就是多個自變量的函數，對其中一個自變量求微分。