前置知識
基本方法
生成函數求通項公式的基本思想是將序列的生成函數轉成封閉形式，再用其他方法將其轉成開放形式，取其系數就是通項公式。
斐波那契數列與盧卡斯數列
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Fibonacci 數列的定義是：\(F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1)\)。
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Lucas 數列的定義是：\(L_0=2,L_1=1,L_n=L_{n-1}+L_{n-2}(n>1)\)。
發現它們的定義十分相似。
對於 Fibonacci 數列，我們有：
\[F_n={\dfrac{(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5}} \]
對於 Lucas 數列，我們有：
\[L_n = {(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n + (\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n} \]
待定系數求通項公式
定義 Lucas 數列的生成函數 \(L(x)\)。由遞推式，我們有：
\[\begin{aligned} L(x) &= x^2L(x)+xL(x)+2-x\\ L(x) &= \dfrac{2-x}{1-x-x^2} \end{aligned} \]
我們考慮通過等比數列的生成函數來表示 \(L(x)\)。用待定系數法，設有：
\[\dfrac{A}{1-ax}+\dfrac{B}{1-bx} = \dfrac{2-x}{1-x-x^2} \\ \]
可以得到：
\[\begin{cases} A+B=2 \\ Ab+aB=1 \\ a+b=1 \\ ab=-1 \\ \end{cases} \]
解得
\[\begin{cases} A=1 \\ B=1 \\ a = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} \\ b = \dfrac{1-\sqrt 5}{2} \end{cases} \]
所以
\[L(x)=\sum_{n \ge 0}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)x^n \\ L_n = (\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n \]
同樣地，對於 Fibonacci 數列，我們有：
\[\begin{aligned} F(x) &= x^2F(x)+xF(x)+x \\ F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2} \end{aligned} \]
待定系數，解得
\[\begin{cases} A=\dfrac{1}{\sqrt 5} \\ B=-\dfrac{1}{\sqrt 5} \\ a = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} \\ b = \dfrac{1-\sqrt 5}{2} \end{cases} \]
所以有
\[F(x)=\sum_{n \ge 0}\dfrac{1}{\sqrt 5}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)x^n \\ F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right) \]
方法總結
- 由遞推式將 \(A_n\) 寫成方程。
- 將方程中的數換成生成函數。
- 檢查正確性，是否有系數偏差，將缺失的部分補上。
- 解方程得到封閉形式。
- 將封閉形式轉為開放形式，其系數即為通項公式。
廣義二項式定理
我們可以將 \((x+y)\) 的任意正整數次冪寫成：
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}= \begin{bmatrix}a^0&\cdots&a^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\binom{n}{0}\\&\ddots\\&&\binom{n}{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b^0\\\vdots\\b^n\end{bmatrix} \quad(n\in\mathbf{N^+}) \]
將其拓展到實數域：
\[\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}=\frac{(\alpha)_k}{k!}\\ (x+y)^\alpha=\sum_{k\ge0}\binom{\alpha}{k}x^ky^{n-k} \]
證明
數學歸納法。
具體過程不會咕了。