【被迫營業9】關於Fibonacci數列的生成函數和通項公式的推導

說在前面

你可能看過lym一年前在csdn上寫的\(\mathcal{O}(\log{n})\)求解Fibonacci數列前\(n\)項，現在看來這篇文章真的屑。
不過我們今天不講這玩意，今天我們講關於Fibonacci數列的生成函數（又稱母函數）和其通項的推導，學過的不用往下看了，這玩意真的很基礎。不過沒學過生成函數（甚至連通項都不知道是啥）的也建議先補補課再來。

\[\frac{1}{1 - x} = \sum_{i \ge 0} x^i \]

關於Fibonacci數列

斐波那契數列是這樣的一個數列：\(0,1,1,2,3,5,8,\cdots\)
設\(f_n\)為它的第\(n\)項，那么它的遞推公式：

\[f_n = \begin{cases} 1 & n \le 2 \\ f_{n - 1} + f_{n - 2} & n > 2 \end{cases} \]

生成函數與通項

想必大部分人都知道\(f_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) ^ n - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) ^ n\right]\)
但是怎么得到的呢？
我們考慮求出其生成函數。
設Fibonacci的生成函數是\(F(x)\)，有

\[F(x) = \sum_{i \ge 1} f_i x^i \]

\[xF(x) = \sum_{i \ge 1} f_i x^{i + 1} \]

\[x^2F(x) = \sum_{i \ge 1} f_i x^{i + 2} \]

顯然有\(F(x) - xF(x) - x^2F(x) = x\)
整理一下發現\(F(x) = \dfrac{x}{1 - x - x^2}\)
然后我們就考慮證明\(\dfrac{x}{1 - x - x^2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) ^ n - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) ^ n\right]\)
這玩意太好整了啊。
考慮配方。

\[{1 - x - x^2} = (1 - ax)(1 - bx) \]

解得

\[\begin{cases} a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ b = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ \end{cases} \]

得

\[F(x) = \dfrac{x}{\left(1 - \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \cdot x\right)\left(1 - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot x\right)} \]

裂個項，易得

\[F(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\dfrac{1}{1 - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot x} - \dfrac{1}{1 - \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \cdot x}\right] \]

通過一開始我們給的式子，可以求出第\(n\)項的系數

\[f_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \]

題外話

這玩意還有其他許多神仙方法可以整，包括一些初等的數列知識，高到一些特征向量等，我們只能不斷地學習。