【被迫营业9】关于Fibonacci数列的生成函数和通项公式的推导

说在前面

你可能看过lym一年前在csdn上写的\(\mathcal{O}(\log{n})\)求解Fibonacci数列前\(n\)项，现在看来这篇文章真的屑。
不过我们今天不讲这玩意，今天我们讲关于Fibonacci数列的生成函数（又称母函数）和其通项的推导，学过的不用往下看了，这玩意真的很基础。不过没学过生成函数（甚至连通项都不知道是啥）的也建议先补补课再来。

\[\frac{1}{1 - x} = \sum_{i \ge 0} x^i \]

关于Fibonacci数列

斐波那契数列是这样的一个数列：\(0,1,1,2,3,5,8,\cdots\)
设\(f_n\)为它的第\(n\)项，那么它的递推公式：

\[f_n = \begin{cases} 1 & n \le 2 \\ f_{n - 1} + f_{n - 2} & n > 2 \end{cases} \]

生成函数与通项

想必大部分人都知道\(f_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) ^ n - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) ^ n\right]\)
但是怎么得到的呢？
我们考虑求出其生成函数。
设Fibonacci的生成函数是\(F(x)\)，有

\[F(x) = \sum_{i \ge 1} f_i x^i \]

\[xF(x) = \sum_{i \ge 1} f_i x^{i + 1} \]

\[x^2F(x) = \sum_{i \ge 1} f_i x^{i + 2} \]

显然有\(F(x) - xF(x) - x^2F(x) = x\)
整理一下发现\(F(x) = \dfrac{x}{1 - x - x^2}\)
然后我们就考虑证明\(\dfrac{x}{1 - x - x^2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) ^ n - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) ^ n\right]\)
这玩意太好整了啊。
考虑配方。

\[{1 - x - x^2} = (1 - ax)(1 - bx) \]

解得

\[\begin{cases} a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ b = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ \end{cases} \]

得

\[F(x) = \dfrac{x}{\left(1 - \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \cdot x\right)\left(1 - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot x\right)} \]

裂个项，易得

\[F(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\dfrac{1}{1 - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot x} - \dfrac{1}{1 - \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \cdot x}\right] \]

通过一开始我们给的式子，可以求出第\(n\)项的系数

\[f_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \]

题外话

这玩意还有其他许多神仙方法可以整，包括一些初等的数列知识，高到一些特征向量等，我们只能不断地学习。