[數學]特征方程求線性遞推方程的通項公式

問題引入

設有遞推方程 f(n)=k₁*f(n-1)+k₂*f(n-2)，已知k₁,k₂及f(0),f(1)，給定n求f(n)

解法

1.O(n)直接遞推

2.O(m³ * log₂n)矩陣快速冪（m為矩陣大小）

3.求f(n)通項公式,O(log₂n)快速冪（或光速冪）

求通項公式

法1：可以用求數列通項公式得高中技巧...

法2：用特征方程

前提：已知線性遞推方程；已知f中某兩項

步驟：

1.上述遞推式的特征方程為x²=k₁*x+k₂（用x²替換f(n)，x替換f(n-1)，1替換f(n-2)），解此一元二次方程的兩解x₁,x₂；

2.f(n)的通項公式為f(n)=α*x₁ⁿ+β*x₂ⁿ，只需解出α,β；（若x₁為k重根，其系數為α+βn+γn²...+ωn^k-1）

3.帶入已知得兩項比如f(0),f(1)得關於α,β得二元一次方程組，即可解出α,β。

舉例：

1.f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=0,f(1)=1,求f(n)通項公式（斐波那契數列）

特征方程為x²=x+1，解得x=(1±√5)/2；

f(n)=α*[(1+√5)/2]ⁿ+β*[(1-√5)/2]ⁿ；

帶入 f(0)=1,f(1)=1,得α=√5/5，β=-√5/5；

所以f(n)=√5/5*[(1+√5)/2]ⁿ-√5/5*[(1-√5)/2]ⁿ;

2.f(n)=233*f(n-1)+666*f(n-2),f(0)=0,f(1)=1,求f(n)通項公式

特征方程為x²=233*x+666，解得；

 

 

則f(n)=α*x₁ⁿ+β*x₂ⁿ

帶入f(0)=0,f(1)=1,得

 

 所以f(n)=

關於光速冪 

例題

洛谷P5110

擴展--非線性遞推方程求通項公式

https://www.luogu.org/blog/ljc1301/solution-p5517

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 參考文章：

https://blog.csdn.net/qq_20340417/article/details/78433961

https://www.luogu.org/blog/xgzc/solution-p5110

https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/85378226