寫在前面
本文解出的通項公式十有八九與使用特征根方程接觸的在形式上不同，但是其正確性可以保證。
如有強迫症請自行化簡。
范例 - 對斐波那契通項公式的推導
設生成函數
\[A=1+x+2x^2+3x^3+5x^4+... \]
不難發現，\(i-1\)項系數即為斐波那契數列第\(i\)項的值。
由於斐波那契數列遞推式為
\[F(i)=F(i-1)+F(i-2) \]
我們得到另外兩個生成函數
\[xA=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5...\\ x^2A=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6... \]
顯然有
\[A=xA+x^2A+1 \]
所以
\[A=\frac{1}{1-x-x^2} \]
由於我們不知道二次形式如何化簡，所以考慮轉換為兩個一次形式，即
\[A=\frac{a}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}+\frac{b}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x} \]
聯立解得
\[a=\frac{5+\sqrt{5}}{10}\\ b=\frac{5-\sqrt{5}}{10} \]
因為
\[\frac{1}{1-kx}=1+kx+k^2x^2+... \]
所以得到
\[A=\frac{5+\sqrt{5}}{10}\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}+\frac{5-\sqrt{5}}{10}\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x} \]
於是展開即可得到通項
\[F(n)=\frac{5+\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+\frac{5-\sqrt{5}}{10}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} \]
對一般遞推數列通項公式的推導
與上述過程相似，根據具體的遞推公式選擇構造即可。
自己體會一下推得過程就可以寫出來了。