1. 分類計數原理
做一件事情，完成它可以有 \(n\) 類辦法，在第一類辦法中有 \(a_1\) 種不同的方法，在第二類辦法中有 \(a_2\) 種不同的方法，……，在第 \(n\) 類辦法中有 \(a_n\) 種不同的方法，那么完成這件事共有 \(a_1 + a_2 + \ldots + a_n\) 種不同的方法。
例：小明的書包里有 \(3\) 本數學書，\(5\) 本英語書，\(8\) 本科學書。隨機從書包里拿出一本書，有 _____ 種不同的可能。
答案：\(3 + 5 + 8 = 16\) 種。
2. 分步計數原理
做一件事情，完成它需要分成 \(n\) 個步驟，做第一步有 \(a_1\) 種不同的方法，做第二步有 \(a_2\) 種不同的方法，……，做第 \(n\) 步有 \(a_n\) 種不同的方法，那么完成這件事有 \(a_1 \times a_2 \times \ldots \times a_n\) 種不同的方法。
例：餐廳里有 \(3\) 種不同的主食，\(2\) 種不同的甜品，\(4\) 種不同的飲料。現在從中選出一種主食、一種甜品、一種飲料作為小明今天的早餐。有 _____ 種不同的方案。
答案：\(3 \times 2 \times 4 = 24\) 種。
3. 排列
排列的概念： 從 \(n\) 個不同元素中，任取 \(m(m \le n)\) 個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從 \(n\) 個不同元素中取出 \(m\) 個元素的一個排列。
排列數的定義： 從 \(n\) 個不同元素中，任取 \(m(m \le n)\) 個元素的所有排列的個數叫做從 \(n\) 個元素中取出 \(m\) 個元素的排列數，用符號 \(A_n^m\) 表示。
排列數公式： \(A_n^m = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times (n-m+1)\)
階乘： \(n!\) 表示正整數 \(1\) 到 \(n\) 的連乘積，讀作“\(n\)的階乘”，規定 \(0!=1\)。
排列數的另一個計算公式： \(A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\)
例：從 \(1,2,3,4,5\) 中選出兩個數組成一個沒有重復數字的兩位數，共有 _____ 種不同的方案。
答案：\(A_5^2 = 5 \times 4 = 20\) 種。
4. 組合
組合的概念： 從 \(n\) 個不同元素中取出 \(m(m \le n)\) 個元素並成一組，叫做從 \(n\) 個不同元素中取出 \(m\) 個元素的一個組合。
組合數的概念： 從 \(n\) 個不同元素中取出 \(m(m \le n)\) 個元素的所有組合的個數，叫做從 \(n\) 個不同元素中取出 \(m\) 個元素的組合數，用符號 \(C_n^m\) 表示。
組合數公式： \(C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)
組合數的性質：
- \(C_n^m = C_n^{n-m}\)。規定：\(C_n^0 = 1\)；
- \(C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}\)。
例：從 \(10\) 位同學中選出 \(3\) 位同學去參加信息學競賽，共有 _____ 種不同的可能。
答案：\(C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\) 種。
5. 概率簡介
隨機事件： 如果我們做一個試驗，這個試驗滿足如下兩個條件：
- 試驗的所有可能結果只有有限個，每次試驗只出現其中的一個結果；
- 每一個試驗的結果出現的可能性相同。
則我們這這個試驗為隨機試驗，也稱為隨機事件。
我們用 \(P(A)\) 來表示事件 \(A\) 發生的概率。
- 必然事件： 必定發生的事件。比如：太陽從東方升起。必然事件的概率 \(P(A)=1\)。
- 不可能事件： 必定不發生的事件。比如：太陽從西邊升起。不可能事件的概率 \(P(A)=0\)。
古典概型： （你可以把古典概型理解成比較古典的計算概率的方法，這套概念大概在古希臘蘇格拉底那個年代被提出，包括高考中涉及概率的內容也最多是古典概率這塊）
在古典概型中，事件的概率為 \(P(A) = \frac{m}{n}\)。其中：
- \(n\) 表示試驗的基本事件總數（即所有可能的情況數）；
- \(m\) 表示事件 \(A\) 成立對應的事件數。
例：投擲兩粒均勻的骰子，出現兩個 \(5\) 點的概率為（ ）。
A. \(\frac{1}{36}\) B. \(\frac{1}{18}\) C. \(\frac{1}{6}\) D. \(\frac{5}{12}\)
答案：\(A\)。因為基本事件有 \(6 \times 6 = 36\) 種，而“兩個\(5\)點” 對應的事件只有一種。所以其對應的概率為 \(\frac{1}{36}\)。