只是為了防止自己腦子突然炸掉寫的東西為什么會有人看😓
排列組合常見模型
\(~~~~\) 約定：下文涉及到球和盒子若未特殊說明，則有 \(n\) 個球，\(r\) 個盒子。
球同，盒不同，不空
\(~~~~\) 考慮每個盒子放多少球，那就是不允許空的插板，故方案數 \(\begin{pmatrix} n-1\\r-1 \end{pmatrix}\).
球同，盒不同，可空
\(~~~~\) 只是將上題的不可空變為可空，仍然插板，方案數 \(\begin{pmatrix} n+r-1\\r-1 \end{pmatrix}\).
球不同，盒同，不空
\(~~~~\) 由第二類斯特林數定義：方案數 \(\begin{Bmatrix} n\\r \end{Bmatrix}\).
球不同，盒同，可空
\(~~~~\) 枚舉實際占用了幾個盒子，方案數 \(\sum_{i=1}^r \begin{Bmatrix} n\\i \end{Bmatrix}\)
球不同，盒不同，無空
\(~~~~\) 在第二類斯特林樹的基礎上加上盒子的獨立性，答案為 \(\begin{Bmatrix} n\\r \end{Bmatrix}\times r!\)
球不同，盒不同，可空
\(~~~~\) 那么考慮每個球進哪個盒子，發現都有 \(r\) 種選擇，故為 \(r^n\) 。
球同，盒同，無空
\(~~~~\) 實際就是考慮划分成 \(r\) 個可空集合，所有集合的元素個數之和為 \(n\) 的方案數。進而是預先給每個盒子放一個球，故最終求 \(r\) 個非負整數，所有數的和為 \(n-r\) 的升序數列個數。dp解決即可。
球同，盒同，有空
\(~~~~\) 與上種情況相似，甚至不用加入兜底的小球。
圓排列
\(~~~~\) 首先考慮不在圓上是 \(n\) 個物品的排列方案為 \(A_{n}^n=n!\) ，然后在圓上時相當於每組在普通情況下循環同構的序列將被算成一組，每組循環同構顯然都恰有 \(n\) 個序列。故最后方案數為 \(\dfrac{n!}{n}=(n-1)!\).
錯排問題
\(~~~~\) 考慮 \(n\) 個球，\(n\) 個盒子。一個球有且僅有一個盒子不能放入，一個盒子有且僅有一個球不能裝，求方案數。
\(~~~~\) 記 \(D_i\) 表示 \(i\) 個球，\(i\) 個盒子時的方案數。手玩有：\(D_1=0,D_2=1\) 。
\(~~~~\) 考慮能否遞推，當增加一個球時，考慮這個增加的球：其可以放入 \(1\sim n-1\) 任意一個盒子中，假設我們放入了第 \(k\) 個盒子，那么第 \(k\) 個球若放入第 \(n\) 個盒子，剩下的方案則為 \(D_{n-2}\) ，否則就是第 \(k\) 個球不能放入第 \(n\) 個盒子，剩下的方案數為 \(D_{n-1}\)。同時把選擇 \(k\) 的方案數考慮進來，故：