第6章 彎曲應力
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梁在垂直於軸線的載荷作用下，橫截面上既有彎矩又有剪力，稱為橫力彎曲；
橫截面上只有彎矩，稱為純彎曲。
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長度不變的一層纖維稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸。
純彎曲
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y軸為橫截面對稱軸，以向下為正；
z軸為中性軸；
x軸過截面形心，垂直於截面。
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縱向纖維的應變\(\epsilon=\frac y{\rho}\)，\(\rho\)為中性層的曲率半徑。
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\(\frac1{\rho}=\frac M{EI_z}\)，\(EI_z\)稱為抗彎剛度。
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梁橫截面上彎曲正應力\(\sigma=\frac{My}{I_z}\)
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非對稱純彎曲仍正確。
橫力彎曲
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由純彎曲導出公式誤差微小，仍適用。
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\(\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}y_{\max}}{I_z}=\frac{M_{\max}}W\)，\(W=\frac{I_z}{y_{\max}}\)稱為抗彎截面系數。
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矩形：\(W=\frac{bh^2}6\)
圓形：\(W=\frac{\pi d^3}{32}\)
彎曲切應力
- \(\tau=\frac{F_sS_z^*}{I_zb}\)，\(S_z^*=\int_{A_1}y_1\mathrm dA\)為距中性軸為y的橫線以下的面積對中性軸的靜矩。
- 對矩形截面
- \(S_z^*=\frac b2\left(\frac{h^2}4-y^2\right)\)
- \(\tau=\frac{F_s}{2I_z}\left(\frac{h^2}4-y^2\right)\)
- \(\tau_{\max}=\frac32\frac{F_\mathrm S}{bh}\)
提高彎曲強度的措施
- 合理安排梁的受力情況。
- 選擇合理的截面形狀。
- 等強度梁
- \(b(x)=\frac{3F}{[\sigma]h^2}x\)
- \(b_{\min}=\frac{3F}{4h[\tau]}\)