第6章 弯曲应力
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梁在垂直于轴线的载荷作用下，横截面上既有弯矩又有剪力，称为横力弯曲；
横截面上只有弯矩，称为纯弯曲。
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长度不变的一层纤维称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。
纯弯曲
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y轴为横截面对称轴，以向下为正；
z轴为中性轴；
x轴过截面形心，垂直于截面。
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纵向纤维的应变\(\epsilon=\frac y{\rho}\)，\(\rho\)为中性层的曲率半径。
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\(\frac1{\rho}=\frac M{EI_z}\)，\(EI_z\)称为抗弯刚度。
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梁横截面上弯曲正应力\(\sigma=\frac{My}{I_z}\)
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非对称纯弯曲仍正确。
横力弯曲
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由纯弯曲导出公式误差微小，仍适用。
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\(\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}y_{\max}}{I_z}=\frac{M_{\max}}W\)，\(W=\frac{I_z}{y_{\max}}\)称为抗弯截面系数。
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矩形：\(W=\frac{bh^2}6\)
圆形：\(W=\frac{\pi d^3}{32}\)
弯曲切应力
- \(\tau=\frac{F_sS_z^*}{I_zb}\)，\(S_z^*=\int_{A_1}y_1\mathrm dA\)为距中性轴为y的横线以下的面积对中性轴的静矩。
- 对矩形截面
- \(S_z^*=\frac b2\left(\frac{h^2}4-y^2\right)\)
- \(\tau=\frac{F_s}{2I_z}\left(\frac{h^2}4-y^2\right)\)
- \(\tau_{\max}=\frac32\frac{F_\mathrm S}{bh}\)
提高弯曲强度的措施
- 合理安排梁的受力情况。
- 选择合理的截面形状。
- 等强度梁
- \(b(x)=\frac{3F}{[\sigma]h^2}x\)
- \(b_{\min}=\frac{3F}{4h[\tau]}\)