1 幾乎必然收斂的概念
幾乎必然收斂（almost sure convergence），又叫以概率1收斂（convergence with probability 1），定義為：隨機變量序列\(\{X_n\}\)滿足
\[\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} X_n\to X)=1 \]
則\(X_n\xrightarrow{\text{a. s. }}X\)。
它的等價條件有很多，比如：
\[\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} |X_n-X|<\varepsilon)=1 \]
或
\[\forall \varepsilon>0, \mathbf{P}(\limsup_{n\to \infty} |X_n-X|>\varepsilon)=0 \]
上式又可用“不時發生”（infinitely often）的概念，寫為
\[\forall \varepsilon>0, \mathbf{P}(|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. })=0 \]
上式如何理解？可從\(\cup_{n=m}^{\infty}\{|X_n-X|>\varepsilon\}\)入手，它表示給定\(m\)后，使\(|X_n-X|>\varepsilon\)（\(n\geq m\)）至少發生一次的\(\omega\)的集合。而如果不管給定的\(m\)有多大，在有些\(\omega\)上，\(|X_n-X|>\varepsilon\)（\(n\geq m\)）都會至少發生一次，這些\(\omega\)的集合就是“不時發生”的概念：
\[\begin{aligned} & \left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\\ =& \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}\\ =& \limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\} \end{aligned} \]
因此，幾乎必然收斂可表示為
\[\begin{aligned} 0 =& \mathbf{P}\left(\left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\right)\\ =& \mathbf{P}(\cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\})\\ =& \mathbf{P}(\limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}) \end{aligned} \]
再介紹一個定理：設\(\{E_n\in\mathcal{F}\}\)為任意序列，則
- \(\mathbf{P}(\limsup_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbf{P}(\cup_{m=n}^{\infty} E_m)\)；
- \(\mathbf{P}(\liminf_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbf{P}(\cap_{m=n}^{\infty} E_m)\).
2 Borel-Cantelli引理
Borel-Cantelli引理是證明幾乎必然收斂時用到最多的工具之一。引理分為兩部分，一是收斂部分，講收斂所需的充分條件，二是發散（divergence）部分，講收斂所需的必要條件，即序列的獨立性。
Borel-Cantelli引理：
- 對於任意一個事件序列\(\{E_n\in\mathcal{F}\}\)，若\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)<\infty\)，則\(\mathbf{P}(E_n, \text{i. o. })=0\)；
- 對於獨立事件的序列\(\{E_n\in\mathcal{F}\}\)，若\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)=\infty\)，則\(\mathbf{P}(E_n, \text{i. o. })=1\).