依分布收斂的定義細節

1 定義

依分布收斂的定義是這樣的：隨機變量序列\(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\)，若它們的累積分布函數cdf序列\(\{F_1\}_{n=1}^{\infty}\)，與某個隨機變量\(X\)的cdf \(F\)，滿足

\[\lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x) \]

在任意\(F(x)\)的連續點\(x\)處都成立。則稱它們依分布收斂到隨機變量\(X\)，記為\(X_n\stackrel{D}\longrightarrow X\)。

在這個定義中，有兩個極易忽視但又重要的點，一是必須要對應到某個隨機變量的cdf，而不是任意一個函數，二是只要求在\(F(x)\)的連續點處條件成立即可。

接下來，我們分析為何要如此定義。

2 極限函數必須是cdf

考慮\(X_n\sim N(0,\sigma_n^2)\)，\(\sigma_n\to +\infty\)，我們有

\[F_n(x)=P(\dfrac{x_n}{\sigma_n}\leq \dfrac{x}{\sigma_n})=\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n}) \]

在任一點\(x\)處，都有\(\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n})\to\Phi(0)=\dfrac{1}{2}\)，因此，可設\(F(x)=\dfrac{1}{2}\)，就滿足定義中的極限條件。但此時，\(F(x)\)不是任何隨機變量的cdf，因為隨機變量的cdf需要滿足\(\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0\)以及\(\lim\limits_{x\to \infty}F(x)=1\)。

這一點如何修正？我們只需讓序列\(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\)是依概率有界即可。而在定義中，就要求cdf函數列的極限形式，一定要對應到某個隨機變量的cdf。

3 只考慮連續點

回憶cdf的另一個性質：右連續，即\(F(x)=F(x+)\)。但在依分布收斂的情形中，很可能會出現不滿足的情況，如\(X_n=X+\dfrac1 n\)，易知

\[F_n(x)=P(X_n\leq x)=P(X\leq x-\dfrac 1 n)=F(x-\dfrac{1}{n}) \]

若\(n\to\infty\)，則\(F_n(x)\to F(x-)\)。若\(F\)在\(x\)處不滿足左連續，那么不能滿足\(F_n(x)\to F(x)\)，因此在定義中，需將\(F\)的不連續點排除。

舉個具體的例子，如\(X_n\sim U_{(0,1/n)}\)，則\(X_n\)在極限時的分布會退化為\(X=1\)，而\(F_n(0)=0\)恆成立，但\(F(0)=1\)，因此對於\(x=0\)無法滿足\(F_n(x)\to F(x)\)，但\(x=0\)是\(F(x)\)的不連續點，因此可以剔除。所以還是認為\(X_n\stackrel{D}\longrightarrow X\)。