導數與定積分初步

導數初步

一、平均變化率

給定函數f(x)，則其平均變化率為

二、平均變化率的極限（瞬時變化率）

平均變化率的極限為

此時我們稱該式為f(x)的導函數，記作

f(x)是f'(x)原函數，也稱f(x)為f'(x)的不定積分

 

三、常用函數的導函數

 

 四、導數的運算法則

加法法則

 

 減法法則

 

 乘法法則

 

 除法法則

 

 

定積分初步

 一、定義

設函數f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (x_n-1,x_n]，其中x₀=a，x_n=b。可知各區間的長度依次是：△x₁=x₁-x_0，在每個子區間(x_i-1,x_i]中任取一點ξ_i（1,2,...,n），作和式

。該和式叫做積分和，設λ=max{△x₁, △x₂, …, △x_n}（即λ是最大的區間長度），如果當λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函數f(x) 在區間[a,b]的定積分，記為

，並稱函數f(x)在區間[a,b]上可積。其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a, b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。

根據上述定義，若函數f(x)在區間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

 二、性質初步

1、當a=b時，

2、當a>b時，

3、常數可以提到積分號前。

4、代數和的積分等於積分的代數和。

5、定積分的可加性：如果積分區間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與[c,b]則有

又由於性質2，若f(x)在區間D上可積，區間D中任意c（可以不在區間[a,b]上）滿足條件。

6、如果在區間[a,b]上，f(x)≥0,則

 

 三、微積分基本定理

 

 

 其中F‘(x)=f(x)