導數的運算訓練題

前言

公式法則

• 常用求導公式

原函數	導函數	原函數	導函數
\(f(x)=C\)(\(C\)為常數)	\(f'(x)=0\)	\(f(x)=x^{\alpha}\)(\(\alpha\)為常數)	\(f'(x)\)\(\sqrt{x}'\)\(=\)\((x^{\frac{1}{2}})'\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(x^{-\frac{1}{2}}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2\sqrt{x}}\)，\((x^{-1})'\)\(=\)\(-\cfrac{1}{x^2}\)；\(=\)\(\alpha\)\(\cdot\)\(x^{\alpha-1}\)
\(f(x)=a^x\)(\(a\)為常數)	\(f'(x)\)\(=\)\(a^x\)\(\cdot\)\(\ln a\)特例:\((e^x)'=e^x\)；	\(f(x)=log_ax\)(\(a\)為常數)	\(f'(x)\)特例:\((\ln x)'=\cfrac{1}{x}\)\(=\)\(\cfrac{1}{x\cdot lna}\)
\(f(x)=\sin x\)	\(f'(x)=\cos x\)	\(f(x)=\cos x\)	\(f'(x)=-\sin x\)

• 導數的四則運算法則：

加法：\([f(x)+ g(x)]'=f'(x)+ g'(x)\)；

減法：\([f(x)- g(x)]'=f'(x)- g'(x)\)；

乘法：\([f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)；\)常用 \([k\)\(\cdot\)\(f(x)]'\) \(=\) \(k\)\(\cdot\)\(f'(x)\) (\(k\)常)
(\(x\)\(\cdot\)\(\ln x\)\()^{\prime}\)\(=\)\(1\)\(+\)\(\ln x\);
\((e^{-2x})'\)\(=\)\(-2\)\(e^{-2x}\)

除法：\([\cfrac{f(x)}{g(x)}]'=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)

計算策略

• 計算原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導公式[即求導公式]求導的和、差、積、商的形式[即求導法則]，然后求導；
• 具體方法如下：

①.連乘積的形式：先展開化簡為多項式的形式，再求導；

②.分式形式：觀察函數的結構特征，考慮化為整式函數或部分分式形式的函數，再求導；

③.對數形式：先化為和、差形式，再求導；

④.根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；

⑤.三角形式：先利用三角公式化為和或差的形式，再求導；

典例剖析

用導數的定義求函數\(y=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=1\)處的導數。

分析：\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

為便於表述和計算，記\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)，

則\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)\(=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}-1}{\Delta x}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\sqrt{1+\Delta x}}}{\Delta x}\)\(=\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{(1-\sqrt{1+\Delta x})\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{-\Delta x}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

\(\hspace{3em}=\cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

則\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)\(=-\cfrac{1}{2}\)。

補遺：用公式法求解導數，由於\(y=\cfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\)，則\(y'=-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\)，

當\(x=1\)時，\(y'|_{x=1}=-\cfrac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}-1}=-\cfrac{1}{2}\).

求下列函數的導數：

①\(y=(2x^2-1)(3x+1)\)；

解：首先將連乘積的形式展開化簡為多項式的形式，

得到\(y=6x^3+2x^2-3x-1\)，故\(y'=18x^2+4x-3\)；

②\(f(x)=\cfrac{\sqrt{x}+x^5+\sin x}{x^2}\)

解：\(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}+x^3+\cfrac{\sin x}{x^2}\)，

則\(y'=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}+3x^2+\cfrac{\cos x\cdot x^2-\sin x\cdot (2x)}{x^4}\)

\(=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}+3x^2+\cfrac{x\cos x-2\sin x}{x^3}\)

③\(g(x)=-\sin\cfrac{x}{2}(1-2\cos^2\cfrac{x}{4})\)

解：首先化簡為\(g(x)=-\sin\cfrac{x}{2}\cdot (-\cos\cfrac{x}{2})=\cfrac{1}{2}\sin x\)，

則\(g'(x)=\cfrac{1}{2}\cos x\).

④\(h(x)=\ln(2x-5)\)

解：\(h'(x)=\cfrac{1}{2x-5}\cdot (2x-5)'=\cfrac{2}{2x-5}\)

⑤\(m(x)=\cfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\cfrac{1}{1+\sqrt{x}}\)

解：先通分化簡為\(m(x)=\cfrac{2}{1-x}\)，

則\(m'(x)=2\cdot \cfrac{0-1\cdot (-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2}{(1-x)^2}\)

⑥\(y=e^{-3x}-1\)

解：\(y'=-3\cdot e^{-3x}\)；

⑦\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}\)

解：\(f(x)=ln(x-1)-ln(x+1)\)，

則\(f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot 1-\cfrac{1}{x+1}\cdot 1\)

\(=\cfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\cfrac{2}{(x-1)(x+1)}\)

⑧\(g(x)=\cfrac{-x+1}{e^{-x}}\)

解：\(g'(x)=\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(-x+1)\cdot e^{-x}\cdot(-1)}{(e^{-x})^2}=\cfrac{e^{-x}[-1+(-x+1)]}{(e^{-x})^2}=\cfrac{-x}{e^{-x}}\)

【2020屆高二理科數學試題】已知\(f(x)=e^{2x}+3x\)，當\(\Delta x\rightarrow 0\)時，則分式\(\cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)趨向於__________.

分析：回顧導數的定義式，$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

變形如下，由於\(\cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)

\(=\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)

\(=\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]}{\Delta x}+\cfrac{-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)

故\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)

\(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]}{\Delta x} +\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)

\(=-f'(x)|_{x=0}-f'(x)|_{x=0}=-(2e^{2x}+3)|_{x=0}-(2e^{2x}+3)|_{x=0}=-10\)

【思維訓練題目】設\(f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+2013)\)，求\(f'(0)\)的值；

分析：本題目的求解難點在於對函數\(f(x)\)的拆分， 為什么要如下拆分，大家看完求解過程就清楚了。

令\(g(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+2013)\)，則\(f(x)=x\cdot g(x)\)，

則\(f'(x)=g(x)+x\cdot g'(x)\)，故\(f'(0)=g(0)+0\cdot g'(0)=1\times 2\times 3\times \cdots \times 2013\)；

計算下列函數的導數

①函數\(f(x)=(x^2+ax-1)e^{x-1}\)

分析：\(f'(x)=(2x+a)e^{x-1}+(x^2+ax-1)e^{x-1}=e^{x-1}[x^2+(a+2)x+a-1]\)；

②函數\(f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1\)，

求導得到\(f'(x)=\cfrac{a+1}{x}+2ax=\cfrac{2ax^2+a+1}{x}\)，

實戰演練

求導：\(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}}\).

解：因為\(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}}\)，

所以 \(f'(x)=\cfrac{(2ax+4a-2){e}^{x}-\left[ax^{2}+(4a-2)x+4a-6\right]{e}^{x}}{{e}^{2x}}\)

\(=\cfrac{-ax^2-(2a-2)x+4}{e^x}=-\cfrac{ax^2+(2a-2)x-4}{e^x}\)

\(=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\) .

〖解后反思〗：求導的實戰中，求導、通分、因式分解等運算往往都是連在一起的。

求導： \(f(x)=a x-(a+2) \ln x-\frac{2}{x}-\ln a(a>0)\).

解： 易知 \(x>0\)， \(a>0\)，

則\(f'(x)=a-\cfrac{a+2}{x}+\cfrac{2}{x^{2}}=\cfrac{ax^{2}-(a+2)x+2}{x^{2}}\)

\(=\cfrac{(x-1)(ax-2)}{x^{2}}\).

求導： \(g(x)=2\ln x+\cfrac{1}{2}ax^{2}-(2a+1)x\)，其中\((a>0)\)；

解析： 定義域是 \((0,+\infty)\)，\(g(x)=2\ln x+\cfrac{1}{2}ax^{2}-(2a+1)x\)，

則 \(g^{\prime}(x)=\cfrac{2}{x}+ax-(2a+1)=\cfrac{ax^{2}-(2a+1)x+2}{x}\)

\(=\cfrac{(x-2)(ax-1)}{x}=\cfrac{a(x-2)\left(x-\cfrac{1}{a}\right)}{x}\)

求導： \(f(x)=e^x(ax^2+x+a)\)

解析： \(f'(x)=e^x\cdot(ax^2+x+a)+e^x\cdot(2ax+1)\)

\(=e^x[ax^2+(2a+1)x+a+1]=e^x(ax+a+1)(x+1)\)

求導：\(f(x)=e^{x}(e^x-a)-a^2x\)

• 在高三的常見題目中，可能更多見的是這樣的：\(x\)的本質為代數式，\(x\rightarrow e^x\)

\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2\)

\(=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2\)

\(=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

解后反思：在實際教學中，學生的問題是對代數式如何變形，變形的方向是什么不清楚，十字相乘法的使用不熟悉；

其中\(2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2\)(令\(e^x=t\))的分解形式如下：

\[\Huge{_{2\cdot e^x}^{1\cdot e^x}{\times}_{\;a}^{-a}} \]

故\(f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

\(m(x)=\cfrac{x^2+4x+2}{2e^x(x+1)}\)，此函數是通過分離參數得到的；

解析： \(m'(x)=\cfrac{(x^2+4x+2)'\cdot [2e^x(x+1)]-(x^2+4x+2)\cdot[2e^x(x+1)]'}{[2e^x(x+1)]^2}\)，

\(=\cfrac{(2x+4)\cdot [2e^x(x+1)]-(x^2+4x+2)\cdot2 [e^x(x+1)]'}{2^2e^{2x}(x+1)^2}\)

\(=\cfrac{(2x+4)\cdot [2e^x(x+1)]-(x^2+4x+2)\cdot2 [e^x(x+2)]}{2^2e^{2x}(x+1)^2}\)

\(=\cfrac{(2x+4)\cdot (x+1)-(x^2+4x+2)\cdot(x+2)}{2e^{x}(x+1)^2}\)

\(=\cfrac{(x+2)[2(x+1)-(x^2+4x+2)]}{2e^{x}(x+1)^2}\) \(\qquad\)此時先考慮分子分母能否約分，再考慮整理分子部分；

\(=\cfrac{(x+2)(-x^2-2x)}{2e^{x}(x+1)^2}\)

\(=-\cfrac{(x+2)x(x+2)}{2e^{x}(x+1)^2}\)

\(=-\cfrac{x(x+2)^2}{2e^{x}(x+1)^2}\)

\(g(x)=-\cfrac{e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1}{x^2}\)，此函數是通過分離參數得到的，2020全國卷Ⅰ的題目選摘；

解： \(g'(x)=-\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot2x}{x^4}\)

\(=-\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x-2(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)}{x^3}\)

\(=-\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}=-\cfrac{(x-2)e^x-(\frac{1}{2}x^3-x-2)}{x^3}\)

[備注：以下重點處理\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2\)的分解，由於\(x=2\)時，\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2=0\)，故指導我們這樣分解因式，將-2拆分為\(-4+2\)，具體分解如下]

\(\cfrac{1}{2}x^3-x-2=\cfrac{1}{2}x^3-4-x+2=\cfrac{1}{2}(x^3-8)-(x-2)\)

\(=\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2)\)

\(=(x-2)(\cfrac{1}{2}x^2+x+2-1)\)

\(=(x-2)(\cfrac{1}{2}x^2+x+1)\)，

故 \(g'(x)=\cdots=-\cfrac{(x-2)e^x-(\frac{1}{2}x^3-x-2)}{x^3}\)

\(=-\cfrac{(x-2)e^x-(x-2)(\frac{1}{2}x^2+x+1)}{x^3}\)

\(=-\cfrac{(x-2)(e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3}\)

即，\(g'(x)=-\cfrac{(x-2)(e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3}\)