Part1 什么是導數
百度百科釋義：導數，也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數 \(y=f(x)\) 的自變量 \(x\) 在一點 \(x_0\) 上產生一個增量 \(Δx\) 時，函數輸出值的增量 \(Δy\) 與自變量增量 \(Δx\) 的比值在 \(Δx\) 趨於 0 時的極限 \(a\) 如果存在，\(a\) 即為在 \(x0\) 處的導數，記作 \(f'(x)\)。
Part2 導數有什么作用
導數是用來反映函數局部單調性的工具。 一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。通俗來講，導數描述了該函數在這點附近的波動趨勢。所以，在高中數學里面我們一般利用導數來進行對函數極值的求解。
Part3 普通函數求導
基本公式是這樣的：
但是我們初中生肯定是不懂的對叭，所以這里有一些導數基本公式：
同時有一些運算法則：
（ \(C\) 是常數）
比如我們要求二次函數 \(y=f(x)=ax^2+bx+c\) 的最值，因為這個二次函數圖像只有一個波峰/波谷，其最值就是極值。
所以我們根據以上公式對原函數進行求導：
令 \(f_1(x)=ax^2\) , \(f_2(x)=bx\) , \(f_3(x)=c\) ，根據導數的加法法則，有：\(f'(x)=f_1'(x)+f_2'(x)+f_3'(x)\)。
我們分別對三個函數進行求導： \(f_1'(x)=2ax, f_2'(x)=b,f_3'(x)=0\)。
所以:\(f'(x)=2ax+b\)。當導數值等於 0 時，原函數取得極值，所以一個二次函數取得極值就是在 \(x=-\displaystyle{\frac{b}{2a}}\)的位置。
Part4 復合函數求導
對於復合函數 \(y=f(g(x))\) ，若 \(u=g(x)\) ，則 \(y_x'=y_u'\times u_x'\)。
比方說 \(y=\ln \sin x\) ，對它求導，可這么做：
令 \(y=f(u)=\ln u\),\(u=g(x)=\sin x\)，那么 \(y_x'=y_u'\times u_x'=\displaystyle{\frac{1}{u}}\times \cos x=\displaystyle{\frac{\cos x}{\sin x}}=\cot x\)。
Part5 例題
- \(y=x^5+\displaystyle{\frac{1}{x}}\)+114514，求 \(y'\)
- \(y=\log_{a}{x}+e^x\)-54188，求 \(y'\)
- \(y=\log_{a}{\sin {\frac{637}{7x^2}}}\)，求 \(y'\)