離散時間系統及離散卷積

1. DFT與IDFT

function [XK] = dft(xn,N)
%UNTITLED 此處顯示有關此函數的摘要
%   此處顯示詳細說明
n=0:1:N-1;
k=n;
WN=exp(-1i*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
XK=xn*WNnk
end

function [XK] = idft(Xk,N)
%UNTITLED2 此處顯示有關此函數的摘要
%   此處顯示詳細說明
n=0:1:N-1;
k=n;
WN=exp(-1i*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^(-nk);
XK=(xn*WNnk)/N
end

2 差分方程求序列及DFT

clc;
clear;
b=[1,0];
a=[1,-1];
%y(n)-y(n-1)=x(n)
 y_1=1;  x0=0;
 x=1:10;        %激勵序列x(n)
y_0=1;
y=[y_0];
for n=2:10
     y=[y,y(end)+x(n)];    %序列遞推
end
subplot(1,2,1)
stem(y);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
title('遞推后的序列y');
subplot(1,2,2)
XK=dft(y,10);
stem(XK);
xlabel('n');
ylabel('X(k)');
title('DFT:y');

 

 3 幅頻特性與相頻特性

%實驗一（2）  幅頻特性與相頻特性計算，畫出零極點
clc;             %清除命令行
close all;       %清除窗口
figure 
b=[0,1];
a=[1,-2,1];              %選用系統函數為：H（z）=z/(1-z)^2
[r,p,k]=residue(b,a)     %求z反變換
zplane(b,a);title('零極點圖');       %零極點圖，z=1是二階極點
figure
n=0:10;
h=impz(b,a,11);
stem(n,h,'filled'); title('沖激響應h(n)');    %沖激響應圖,h(n)=n*u(n)
figure
w=pi*freqspace(100);
freqz(b,a,w); title('幅頻特性與相頻特性');     %系統頻率響應的幅頻特性和相頻特性圖

 

 

 

 4 FFT 求卷積

clear;
xn=sin(0.4*[1:15])';hn=0.9.^(1:20)';
M=length(xn);N=length(hn);
nx=1:M;nh=1:N;
%L>=N+M+1;
L=pow2(nextpow2(M+N-1));
tic
Xk=fft(xn,L);Hk=fft(hn,L);
Yk=Xk.*Hk;
yn=ifft(Yk,L);
toc
tic,
yn1=conv(xn,hn);
toc
subplot(4,1,1),stem(1:15,xn,'filled','k');title('序列一');
subplot(4,1,2),stem(1:20,hn,'filled','k');title('序列二');
subplot(4,1,3),stem(1:(M+N-1),yn(1:(M+N-1)),'filled','k');title('fft ifft');
subplot(4,1,4),stem(1:(M+N-1),yn1,'filled','k');title('conv');

 

 

可以看到內置函數的速度要快很多

5 線性卷積

%實驗一（3）     序列的線性卷積計算
clc;                      
clear;
x=[3,11,7,0,-1,4,2];       %序列1 
h=[2,3,0,-1,2,1];          %序列2
y=conv(x,h)                %求線性卷積,並輸出結果
subplot(4,1,1)   
stem([0:length(x)-1],x,'filled');           %序列1圖像
xlabel('n'); ylabel('幅度'); title('x');      
subplot(4,1,2)
stem([0:length(h)-1],h,'filled');           %序列2圖像
xlabel('n'); ylabel('幅度'); title('h')
subplot(4,1,3)
stem([0:length(y)-1],y,'filled');            %線性卷積結果圖像
xlabel('n'); ylabel('幅度'); title('線性卷積')
% dft方法
M=size(x,2);N=size(h,2);
L=M+N-1;
x1=zeros(1,L);x1(1:M)=x;
h1=zeros(1,L);h1(1:N)=h;
xk=dft(x1,L);hk=dft(h1,L);
wk=xk.*hk  
y2=idft(wk,L)
subplot(4,1,4)
stem([0:L-1],y2,'filled');
xlabel('n'); ylabel('幅度'); title('DFT 線性卷積');