一、前置概念
大家都會的東西。下面的圖一般指二分圖。
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匹配：在圖論中，一組匹配（matching）是一個邊的集合，其中任意兩條邊都沒有公共端點。
對於一組匹配 \(S\)（\(S\) 是一個邊集），屬於 \(S\) 的邊被稱為“匹配邊”，匹配邊的端點被稱為“匹配點”。剩余的邊或點被稱為“非匹配邊”和“非匹配點”。
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最大匹配：一個圖所有匹配中，所含匹配邊數最多的匹配。
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完美匹配：如果一個圖的某組匹配中，圖中所有的頂點都是匹配點（顯然同時也符合最大匹配），那么它就是一個完美匹配。
完美匹配，就是一組匹配中，左部的一個點恰好匹配到右部一個點，同樣地，右部的一個點恰好匹配到左部一個點。
二、霍爾定理
霍爾定理是判斷二分圖是否存在完美匹配的充要條件。
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首先假設 \(|X|\leq |Y|\)（其中 \(X\) 是左部的點數，\(Y\) 是右部的點數）。
上面的這種說法，意思是，我們能把 \(X\) 中的點全部用完（作為匹配點），\(Y\) 中的點不一定用完（將點數較小的一側的點都用完）。
另一種說法是：要求 \(|X|=|Y|\)（點之間一一匹配，所有點都用完）。
我們可以理解為是兩種定義，兩種說法哪個對，取決於怎么定義“完美匹配”。但是霍爾定理對它們都適用，所以討論霍爾定理時，我們采用更一般性的定義。
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對於任意 \(X\) 的子集 \(a\)，設 \(b\) 是 \(a\) 能到達的點集的並（通過 \(a\) 可以唯一確定 \(b\)），都有 \(|a|\leq |b|\)。
必要性是顯然的。因為若某一個 \(|a|>|b|\)，\(a\) 中必然有某些點是匹配不了的（即完成不了把 \(a\) 中的點用完這個要求）。充分性不太好證，可以不用管，而且這個定理看起來就很對 QwQ。
舉個栗子：LOJ 6062. 「2017 山東一輪集訓 Day2」Pair（題解被吃了）。
最后，感謝 Dls 的指導，Dlstxdy！