相互作用場論2

本文轉載自查看原文 2021-01-09 21:48 373 本人的國科大量子場論課程筆記

第章

第章
1.1節相互作用繪景
1.可以參考金老師講義
2.相互作用繪景：
3.QFT中散射問題：
4.相互作用繪景的時間演化算符的戴森級數（高量中有）
5.QFT
1）相互作用繪景下的勢、場算符
2）QFT中的S算符
3）QFT中的S矩陣元
（32）的真空矩陣元
6.第一個散射截面的例子
1）計算（35）的第一項的S矩陣元：
2）下面計算（35）第二項的S矩陣元：
將（38）代入（39）后，得到的第一項：
將（38）代入（39）后，得到的第二項所對應的費曼圖：
將（38）代入（39）后，得到的第三項所對應的費曼圖：
綜上，在T矩陣元中，其實只有“將（38）代入（39）后，得到的第一項”有貢獻，故將得到的不變振幅代入散射截面表達式【見“相互作用場論”（42）式，peskin書（4.85）】，得：
上面的計算過程的再次說明（因為前面“（38）代入（39）后，得到的第一項”計算過程沒說清楚）：
（38）代入（39）后，得到的第二項就是這個第二項對S矩陣元的貢獻：
（38）代入（39）后，得到的第三項就是這個第三項對S矩陣元的貢獻：
3）下面考慮（35）展開到

λ

的平方階：
上面（59）式還可以根據費曼圖、費曼規則寫出來：
（54）對應的不變振幅
7.綜上，對二道散射，4個粒子都是全同粒子，S矩陣元中的非平庸部分：
1）計算外腿修正的圖（此費曼圖屬於

λ^{2}

階）：
截腿（這是一個動詞）：
7.老式微擾論

1.1節相互作用繪景

1.可以參考金老師講義

在NRQM中，薛定諤繪景用的較多。在QFT中，海森堡繪景用得較多，因為在QFT中用的是場算符，它是算符，考慮其時間依賴，故應是海森堡繪景，對自由場情況的場算符，可以進行平面波展開；但引入相互作用項后，場算符無法平面波展開，因為它有非線性的項（見前面“相互作用於QFT的困難”）。

（1）

2.相互作用繪景：

因為物理不依賴於繪景，故，故（算符的演化是自由哈密頓量決定的）。對此式求導得：（2）。
因為海森堡繪景中（1）中 $H = H_{0} + V$ ，故當相互作用為0時，相互作用繪景等價於海森堡繪景。
（3）
態的演化是相互作用決定的。

3.QFT中散射問題：

狄拉克拉氏量中的m是電子質量，但在實驗中，，電子是物理質量的電子，實驗測量得到；而狄拉克拉氏量中的m其實是電子的裸質量。電動力學中，電子運動會有電磁場，再考慮相互作用，很復雜。量子化電磁場后，電磁場的量子對應光子，考慮一個電子在真空中穿行：
，反復釋放光子再吸收光子，這種過程稱為dress，故物理電子是裸電子圍繞着光子雲的運動，很復雜。裸電子不對應真實的可觀測量，只有打開相互作用后，物理電子才對應真實的可觀測量。
散射實驗其實是in態是裸電子，運動中逐漸變成物理電子再散射，散射后再逐漸變成裸電子。為什么可以用自由理論的哈密頓量 $H_{0}$ 的本征態（，即裸電子）來計算S矩陣元？
絕熱近似：假設拉氏量的相互作用項中有開關函數f(t)：，這是一個開關，假設可以緩慢地開啟相互作用，最后f(t)變成1，然后再逐漸關掉。
，這其實就是散射過程。
在絕熱近似中還應取極限，這是為了使得邊界效應消失。
一個錯誤觀點是認為當兩個電子相距很遠時，這兩個電子是真正的哈密頓量的本征態，物理電子是很復雜的，這樣就並不知道為什么開始時能用 $H_{0}$ 的本征態（，即裸電子）來計算。
但是通過絕熱近似我們就知道真正的散射過程是先是裸電子，然后逐漸變成物理電子，再變成裸電子。

4.相互作用繪景的時間演化算符的戴森級數（高量中有）

令。
相互作用繪景的時間演化算符：
S：相互作用繪景的時間演化算符，即.

S矩陣元：

根據為知、量子力學新講和金老師高量講義含時散射理論中相互作用繪景知道，S矩陣元的物理意義是：根據波函數的普遍物理詮釋，S矩陣元：負無窮時刻的 $α$ 態在正無窮時刻躍遷到 $β$ 態的概率幅。
量子力學新講中：

根據（3）得到：
（11）
迭代法：能用微擾論應該假設相互作用不是很強。

（12）

確實迭代法結果是這樣。

對（12）還可以繼續迭代，即將（11）再代入（12）中右邊的 $ψ$ ，再...，迭代方法和原因可以見金老師高量講義中我寫的證明（講義中得到了和（13）類似的公式，其實（13）中的S算符就是時間演化算符（只不過是相互作用繪景），故一樣），令=，得到：S算符的戴森級數表達式1：
（13）

其實（13）的得到可以見金老師高量講義“量子動力學”

對（13）中的第3項（即n=2這一項）：（14），積分限為：；根據二重積分中交換積分次序的方法，將X型區域的積分換成Y型區域的積分，得到：

（圖1）

見為知“二重積分”，可知此式確實成立。

對上面公式“區域和函數xy對換，相加除二法”，區域和函數xy對換后仍然相等，得：

此式對應的積分區域是圖1中的空白部分。（說明進行區域和函數xy對換后，積分區域改變了）
相加除二后，得到：
（15）

對玻色型算符（如果是費米型算符還有一個額外的負號），編時乘積：

根據二重積分X、Y型積分的意義和圖1知道，（15）中第一項對應 $t_{2} > t_{1}$ ,第二項對應 $t_{1} > t_{2}$ ，故知，（15）中兩項的被積函數自動是編時好了的，故可以加上編時算符T而不會改變結果，得：

而在編時算符T中，兩個算符可以交換次序，故（15）的第一項等於

故兩項的被積函數相同，又因為根據圖1，（15）的兩項中的積分區域分別為兩個三角形，故根據二重積分的幾何意義（見為知，或者其實可以直接從（15）兩項的積分號直接從數學看出來），知，可以將總的積分區域看成矩形（但我覺得這樣的操作就沒有顯示“編時算符對應的先算哪個積分，后算哪個積分”，見金老師高量講義中我寫的筆記中的“驗證”，編時算符實際上只是一個“形式”，告訴我們先算哪個積分），故（14）這個積分最終化為：
。
推廣到（13）中的第n項，得到：

綜上，（13）變成：S算符的戴森級數表達式2：
（16）（17）（第二行這個公式只是對第一行這個公式的一個記號，原因見金老師高量講義）

1.這個表達式的推導我覺得上面的推導不好，沒有顯示編時算符的含義，但學生友好量子場論也是按上面的方法推導的，但我還沒看，也許上面的過程有其他的道理，沒時間研究，凝聚態還很多問題應研究。
2.這個表達式2在金老師高量講義中有我的一個推導方法，和這里的推導方法不同。根據高量中我寫的推導知道，這個表達式只是一個形式，實際計算時用的還是表達式1

5.QFT

前面其實使用的都是相互作用繪景和薛定諤方程。下面進入QFT：

1）相互作用繪景下的勢、場算符

，若相互作用拉氏量沒有導數耦合，則，則（18）。
例如對 $ϕ 4$ 理論，，則相互作用繪景下的勢能：

其中相互作用繪景中的場算符：（重要，背），注意這和自由KG場論中的海森堡繪景中的場算符一樣，這樣自由場論中平面波展開等很多都可以用，這就是相互作用繪景的好處。

這是根據得到的。

對一般的（18），得：相互作用繪景下的勢：
$V_{I} (t) =$ （19），就是將（18）的H中的所有場算符換成相互作用繪景中的場算符即可。

2）QFT中的S算符

對定域QFT，根據(16)（17）和（19），得到S算符：
S=
=（20）

但是我覺得（20）不能直接從（16）得到，因為（16）是對時間積分，而（20）是對空間點x積分。（20）的正確證明見學生友好量子場論201頁，但我沒時間研究。

S矩陣元包含了所有的對稱性，包括洛倫茲對稱性：
（21）。

下面驗證（21）成立：
因為沒有導數耦合，則，而L是洛倫茲標量，故H也是洛倫茲標量，故有：（22）
可以證明若，即是類時間隔時，則在洛倫茲變換下不變的。若是類空間隔，根據因果性，故要求。故綜上，將（22）和以上結論代入（20）可以驗證（21）確實成立。

3）QFT中的S矩陣元

；相互作用繪景，標量場情況。在處理（20）時，會出現這樣一項。處理這一項應用wick定理。
自由場中講過，平面波分解可以將自由場分解成正頻部分（它伴隨湮滅算符）和負頻部分（它伴隨產生算符）：（23）

此式原因是因為相互作用繪景下的場算符與海森堡繪景中的自由KG場論中的海森堡繪景中的場算符一樣，故見前面自由KG場論中海森堡繪景的場算符的平面波展開可以知道。
這里開始省略I角標

考慮：

原式=
為了寫成正則排序形式（即產生算符都在湮滅算符的左邊），

此時，除了對易子，都處於正則排序。

正則排序符號定義為：將它包含的所有算符置換為正則排序，例如：

定義兩個場的縮並：
（和編時乘積符號類似，也是時間晚的寫在左邊）
它實際上就等於費曼傳播子. 費曼傳播子寫得最好的是在學生友好量子場論73-77頁

證明：費曼傳播子的定義：
代入（23），得到：
，
上面推導具體見學生友好量子場論202頁和73-77頁中的（3-127）式，寫得很好！

注意費曼傳播子是一個c數，以上兩個場的縮並也是一個c
綜上，編時和正則排序之間的關系：

注意因為費曼傳播子是一個c數，故右邊乘一個單位算符。
wick定理：恆等式：編時和正則排序之間的關系：

所有可能的縮並：對m個場進行成對的縮並，每種可能的方式都產生一個項。
例如，m=4,
（32）
當縮並符號連接兩個不相鄰的算符時，定義為：

因為 $ϕ_{1} 和 ϕ_{3}$ 縮並是C數，費曼傳播子，故可以提出來。

而N（）理解為：

N作用於單位算符等於單位算符，一般可以不寫

（32）的真空矩陣元

若計算（32）的真空矩陣元，則因為

此式證明：若殘留有算符，則算符中的產生算符可以作用於左邊，結果為0，消滅算符作用於右邊，結果也為0，故得證。

故真空矩陣元中，任何項若殘留有算符未被縮並，則結果為0；只有最后三個：N（）在真空矩陣元的作用下還存在。
綜上，（32）的真空矩陣元為：（33）
每個場在一個不同的時空點，用點表示 $x_{1}$ 到 $x_{4}$ 的每個點，且每個 $D_{F}$ 中的x-y都用一條線連接。然后，（33）可以表示為三個圖的總和：

這個圖的原因我認為是因為學生友好量子場論書中說過了，費曼傳播子的物理意義是：初始是真空態，然后在y點產生傳遞相互作用的虛粒子，在x點湮滅它（或者先在x點產生一個傳遞相互作用的虛反粒子，再在y點湮滅它；這兩種情況等價）最后又回到真空態，費曼傳播子的物理意義是這整個從初始真空到最后真空的過程的幾率幅，其平方表示整個這個過程的幾率。故根據此物理意義可以知道上面這個圖。

wick定理的證明是數學歸納法。省略。

6.第一個散射截面的例子

，
對2個粒子散射后變成2個粒子的散射：（角標分別是A,B,1,2）
根據（20），有：
（35）保留到 $λ$ 的一次方項，稱為現代的玻恩近似.
下面計算S矩陣元，

1）計算（35）的第一項的S矩陣元：

根據KG場論中的內容，矩陣元和繪景無關，故可以在薛定諤繪景中計算，
（37）

第一次作業題中好像算過這個，反復利用對易關系。老師說還應注意全同粒子的特性？我不懂。不過（37）這個公式代表向前散射（即末態的動量方向f和初態的動量方向i相同，見前面說過的S矩陣元），很平庸，不重要。

根據（37）可以畫出：

2）下面計算（35）第二項的S矩陣元：

其中會出現：，利用前面wick定理m=4的結果，得到：
（38）

設（這個T不是編時算符，是T算符），則對比（35），可以知道矩陣元：
（39）

將（38）代入（39）后，得到的第一項：

因為=，，只有中間畫圈的部分有兩個a和 $a^{†}$ 才非零，反正可以證明中只有的矩陣元才不為零。考慮。>還可以證明

反正經過復雜的計算，得到第一項=

對比為知”相互作用場論“中的公式：，得不變振幅： $m = - λ$

將（38）代入（39）后，得到的第一項所對應的費曼圖：
因為m是 $λ$ 的一次方，故只有一個頂角，

對這個費曼圖給一個費曼規則，即頂角因子 $i m = - i λ$ .
畫成這個費曼圖是因為4個動量都在一個 $δ$ 函數中，故這種圖是完全連通的，每個點都可以走到任何一個點。

將（38）代入（39）后，得到的第二項所對應的費曼圖：

其中的圈來源於：
==，故發現有一個動量的不確定（為什么？）
圈圖的含義是在這樣一個封閉的費曼圖的結構，動量不確定。

這種圖不是連通圖，這種圖不能寫成只有一個4動量守恆的 $δ$ 函數類似的形式，而是類似於（35）的第一項的S矩陣元有兩個 $δ$ 函數的乘積，所以以上這種費曼圖不考慮。

以后會講不考慮的原因。

將（38）代入（39）后，得到的第三項所對應的費曼圖：

其中的沒有外線的圖稱為真空泡泡圖。以前講過相互作用理論真空的復雜性，這種真空泡泡圖物理上對應從自由場論的真空到相互作用理論的真空的能量的shift。
以后會說，真空泡泡圖可以不考慮。

綜上，在T矩陣元中，其實只有“將（38）代入（39）后，得到的第一項”有貢獻，故將得到的不變振幅代入散射截面表達式【見“相互作用場論”（42）式，peskin書（4.85）】，得：

總截面：將上面公式對d $Ω$ 積分，再除以2（因為末態有兩個全同粒子，可以交換這兩個粒子，其實位形也一樣
；），得：

上面的計算過程的再次說明（因為前面“（38）代入（39）后，得到的第一項”計算過程沒說清楚）：

（38）代入（39）后，得到的第一項就是這個第一項對S矩陣元的貢獻：
（43）
其中寫法：
在中，前面說過，只有對應的矩陣元不為零。

考慮場算符和外態縮並：
比如，可以發現只有它的正頻部分有貢獻（怎么發現，可能是還要通過計算才知道負頻部分無貢獻），

計算此積分的方法：使用產生湮滅算符的對易關系，因為使用對易關系之后，湮滅算符作用於真空得到0，故最后是一個C數。最后得到的結果是。使用符號來表示此計算結果，即定義場算符和外態縮並：
（
類似，計算得到
（但少了真空）
故在計算S矩陣元的貢獻時，這種情況有4種，因為4個 $ϕ$ 都可以和 $P_{A}$ 縮並。再考慮，則一共有4X3種情況。
再考慮，故最后一共是4X3X2X1=4!=24種情況。這24種情況得到的矩陣元實際上是相等的：。
故（38）代入（39）后，得到的第一項就是這個第一項對S矩陣元的貢獻：
（43）=
=（46）
對比可以知道，（46）正好滿足有一個4度的 $δ$ 函數的形式，故不變振幅 $m = - λ$ .

（38）代入（39）后，得到的第二項就是這個第二項對S矩陣元的貢獻：

但是其中可能是縮並方式，也可能是第一個 $ϕ$ 和 $P_{A}$ 縮並，所以有兩種縮並方式（為什么這兩種縮並方式不等價？不知道），故系數前乘2，即

=
此第一項對易的費曼圖：
$P_{2}$ 和 $P_{B}$ 直接連起來，因為沒有發生什么。而對 $P_{1}$ 和 $P_{A}$ ，實際上，在x點有一個費曼傳播子 $D_{F} (x - x) = D_{F} (0) =$ ，故根據費曼傳播子的物理意義，知道：

因為學生友好量子場論書中說過了，費曼傳播子的物理意義是：初始是真空態，然后在y點產生傳遞相互作用的虛粒子，在x點湮滅它（或者先在x點產生一個傳遞相互作用的虛反粒子，再在y點湮滅它；這兩種情況等價）最后又回到真空態，費曼傳播子的物理意義是這整個從初始真空到最后真空的過程的幾率幅，其平方表示整個這個過程的幾率。

注意因為前面系數中有
，故其實沒有完全抵消1/(4!)，這里出現的1/2稱為對稱因子。
除了上面這個費曼圖，另外還會有幾個費曼圖，故最后得到：（38）代入（39）后，得到的第二項對應的費曼圖：

（38）代入（39）后，得到的第三項就是這個第三項對S矩陣元的貢獻：

其中的矩陣元在計算（37）時已經算過，也得到了其費曼圖：.
但因為前面還有，因為平方，故
，根據費曼傳播子等於知道，這里有兩個動量不確定，在圖中分別記為 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 。而系數計算得：
故真空泡泡圖：

但為什么泡泡和線是分開的？

老師說真空泡泡圖代表從自由理論的真空變成相互作用理論的真空

為什么，不知道

剩下一個積分，將系統放在空間盒子和時間盒子中，故=VT；
綜上，（38）代入（39）后，得到的第三項就是這個第三項對S矩陣元的貢獻：

但其不具有這種形式，故不能直接得到不變振幅。
但是考慮真空泡泡圖，可以抽取物理真空的能量密度（這個結論需要在路徑積分量子化才更能清楚）

。
這種圖是完全連通的，每個點都可以走到任何一個點，但、這兩種圖沒有連通！
先不考慮這兩種不連通的圖，以后會講原因。

3）下面考慮（35）展開到 $λ$ 的平方階：

根據（20），得到：
（53）稱為次領頭階的S矩陣元的貢獻
根據wick定理，將wick定理代入（53），得到的第一項：
（54）
考慮所有可能的場算符和態的縮並，因為有4個態，8個場算符，故有4個場算符是內線縮並，

注意先后順序縮並有一個double counting，故除2，具體見56節課36分鍾。

內線縮並是成為C數了，故

再繼續考慮外線縮並，有2X2=4種情況。
（55）
故根據此式可以知道費曼圖：

下面考慮系數中的對稱因子（56節課39分鍾）：通過在積分中交換x和y的方法（老師沒說為什么）可以知道泰勒展開的系數永遠不用考慮：

故根據（55）、內線縮並、外線縮並，知道：
(54)=
代入費曼傳播子的表達式，得到：43分鍾
可以發現，對頂角x、y都是一個4動量的積分，各自給出一個4度的 $δ$ 函數，故
（54）=

注意q和r都是動量，上面公式中的 $δ$ 函數表示動量守恆，故有。故對上面公式先利用這個 $δ$ 函數對r積分，得到：
（54）=（59）
根據此式知道，在上面的費曼圖中，動量q沒有確定，稱為圈動量q沒有被決定.
因為上面費曼圖中只有一個圈動量q沒有被決定，故此費曼圖稱為單圈圖。

上面（59）式還可以根據費曼圖、費曼規則寫出來：

每個頂角貢獻一個 $- i λ$ ，4個外線對 $ϕ$ 4理論來說都是1，內線就是費曼傳播子（動量空間費曼傳播子）：

只有一個未決定的動量，故上面公式積分：

根據費曼規則，沒有1/2，但根據（59），知道（59）中還要一個1/2.
對稱因子的計算：老師說
，其他的沒有什么好方法，就是按照前面的過程計算，比較麻煩一些。

（54）對應的不變振幅

根據和（59）知道，（54）對應的不變振幅：
=

在（53）次領頭階的S矩陣元的貢獻中，還有幾個費曼圖：第一個稱為：S通道，第二個稱為t通道，...

有一些軟件包，給一個拉氏量就能給出所有的費曼規則。給初末態粒子，告訴算多少階，然后自動就能產生費曼振幅。
但是老師說，我們學生應該知道一些簡單的圖怎么來的，很重要。

7.綜上，對二道散射，4個粒子都是全同粒子，S矩陣元中的非平庸部分：

=

其中
，因為有VT，后面會講可以將其扔掉，但是
，外腿上有一個單圈圖的修正：

1）計算外腿修正的圖（此費曼圖屬於 $λ^{2}$ 階）：

=（61）
其中1/2是單圈圖對稱因子，是二階展開中的系數。
將wick定理代入（61）后，考慮得到的第一項（此項其實就是將（61）中的T換成N）：
56節的58分鍾：
第一步：內線縮並：有4X4種
第二步：外線縮並：3
第三步：再內線縮並，有1種

第四步：剩下的三個 $ϕ_{x}$ 和p1、p2、 $\p_{B}$ 縮並。有3！種。

（61）中的最前面的1/2系數可以不用考慮，消掉，因為可以考慮將積分中的x和y交換順序，故可以抵消這個1/2.但前面4步中的縮並的排列組合需要考慮：（61）變成：
=
然后再代入費曼傳播子的表達式（實際上這個過程就是在將坐標空間的費曼傳播子換成動量空間的費曼傳播子），然后交換積分次序，再將 $d^{4} x 、 d^{4} y$ 積分掉，然后得到兩個4度的動量守恆 $δ$ 函數，最后結果為：
（64）
費曼圖中泡泡的頂角和中間的頂角給出兩個 $δ$ 函數。
對（64）中的q積分得：
=（65）
根據（65）可以知道外腿修正的圖對應的不變振幅：im=（66）
對在殼的入射粒子：，會發現（66）中
得到散射截面無窮大。這是一個問題。
其實，代表費曼圖，一個KG粒子流入：有外腿的修正的情況下：
（67）
這些圖都會有1/0=無窮這個額問題。這種無窮大問題來自外腿的在殼條件。
這些真空泡泡圖是使得從真空到相互作用理論的真空。
以前講絕熱近似時，散射過程是從一個裸電子變成物理電子。（67）這種圖可以理解為起一個使得裸電子變成物理電子的效應。

老師沒說為什么

截腿（這是一個動詞）：

考慮一個 $ϕ$ 4理論的費曼圖：

截腿的含義是在主干的外部將外腿截掉(去掉），例如:

計算S矩陣元時，只需要計算截腿的費曼圖就可以
對S矩陣元有貢獻的費曼圖需要滿足規則：
=所有完全連通、截腿的費曼圖
完全連通指的是所有外線都互相連通，並且還要求：沒有真空泡泡圖！（以后會講為什么）