相互作用场论2

本文转载自查看原文 2021-01-09 21:48 373 本人的国科大量子场论课程笔记

第章

第章
1.1节相互作用绘景
1.可以参考金老师讲义
2.相互作用绘景：
3.QFT中散射问题：
4.相互作用绘景的时间演化算符的戴森级数（高量中有）
5.QFT
1）相互作用绘景下的势、场算符
2）QFT中的S算符
3）QFT中的S矩阵元
（32）的真空矩阵元
6.第一个散射截面的例子
1）计算（35）的第一项的S矩阵元：
2）下面计算（35）第二项的S矩阵元：
将（38）代入（39）后，得到的第一项：
将（38）代入（39）后，得到的第二项所对应的费曼图：
将（38）代入（39）后，得到的第三项所对应的费曼图：
综上，在T矩阵元中，其实只有“将（38）代入（39）后，得到的第一项”有贡献，故将得到的不变振幅代入散射截面表达式【见“相互作用场论”（42）式，peskin书（4.85）】，得：
上面的计算过程的再次说明（因为前面“（38）代入（39）后，得到的第一项”计算过程没说清楚）：
（38）代入（39）后，得到的第二项就是这个第二项对S矩阵元的贡献：
（38）代入（39）后，得到的第三项就是这个第三项对S矩阵元的贡献：
3）下面考虑（35）展开到

λ

的平方阶：
上面（59）式还可以根据费曼图、费曼规则写出来：
（54）对应的不变振幅
7.综上，对二道散射，4个粒子都是全同粒子，S矩阵元中的非平庸部分：
1）计算外腿修正的图（此费曼图属于

λ^{2}

阶）：
截腿（这是一个动词）：
7.老式微扰论

1.1节相互作用绘景

1.可以参考金老师讲义

在NRQM中，薛定谔绘景用的较多。在QFT中，海森堡绘景用得较多，因为在QFT中用的是场算符，它是算符，考虑其时间依赖，故应是海森堡绘景，对自由场情况的场算符，可以进行平面波展开；但引入相互作用项后，场算符无法平面波展开，因为它有非线性的项（见前面“相互作用于QFT的困难”）。

（1）

2.相互作用绘景：

因为物理不依赖于绘景，故，故（算符的演化是自由哈密顿量决定的）。对此式求导得：（2）。
因为海森堡绘景中（1）中 $H = H_{0} + V$ ，故当相互作用为0时，相互作用绘景等价于海森堡绘景。
（3）
态的演化是相互作用决定的。

3.QFT中散射问题：

狄拉克拉氏量中的m是电子质量，但在实验中，，电子是物理质量的电子，实验测量得到；而狄拉克拉氏量中的m其实是电子的裸质量。电动力学中，电子运动会有电磁场，再考虑相互作用，很复杂。量子化电磁场后，电磁场的量子对应光子，考虑一个电子在真空中穿行：
，反复释放光子再吸收光子，这种过程称为dress，故物理电子是裸电子围绕着光子云的运动，很复杂。裸电子不对应真实的可观测量，只有打开相互作用后，物理电子才对应真实的可观测量。
散射实验其实是in态是裸电子，运动中逐渐变成物理电子再散射，散射后再逐渐变成裸电子。为什么可以用自由理论的哈密顿量 $H_{0}$ 的本征态（，即裸电子）来计算S矩阵元？
绝热近似：假设拉氏量的相互作用项中有开关函数f(t)：，这是一个开关，假设可以缓慢地开启相互作用，最后f(t)变成1，然后再逐渐关掉。
，这其实就是散射过程。
在绝热近似中还应取极限，这是为了使得边界效应消失。
一个错误观点是认为当两个电子相距很远时，这两个电子是真正的哈密顿量的本征态，物理电子是很复杂的，这样就并不知道为什么开始时能用 $H_{0}$ 的本征态（，即裸电子）来计算。
但是通过绝热近似我们就知道真正的散射过程是先是裸电子，然后逐渐变成物理电子，再变成裸电子。

4.相互作用绘景的时间演化算符的戴森级数（高量中有）

令。
相互作用绘景的时间演化算符：
S：相互作用绘景的时间演化算符，即.

S矩阵元：

根据为知、量子力学新讲和金老师高量讲义含时散射理论中相互作用绘景知道，S矩阵元的物理意义是：根据波函数的普遍物理诠释，S矩阵元：负无穷时刻的 $α$ 态在正无穷时刻跃迁到 $β$ 态的概率幅。
量子力学新讲中：

根据（3）得到：
（11）
迭代法：能用微扰论应该假设相互作用不是很强。

（12）

确实迭代法结果是这样。

对（12）还可以继续迭代，即将（11）再代入（12）中右边的 $ψ$ ，再...，迭代方法和原因可以见金老师高量讲义中我写的证明（讲义中得到了和（13）类似的公式，其实（13）中的S算符就是时间演化算符（只不过是相互作用绘景），故一样），令=，得到：S算符的戴森级数表达式1：
（13）

其实（13）的得到可以见金老师高量讲义“量子动力学”

对（13）中的第3项（即n=2这一项）：（14），积分限为：；根据二重积分中交换积分次序的方法，将X型区域的积分换成Y型区域的积分，得到：

（图1）

见为知“二重积分”，可知此式确实成立。

对上面公式“区域和函数xy对换，相加除二法”，区域和函数xy对换后仍然相等，得：

此式对应的积分区域是图1中的空白部分。（说明进行区域和函数xy对换后，积分区域改变了）
相加除二后，得到：
（15）

对玻色型算符（如果是费米型算符还有一个额外的负号），编时乘积：

根据二重积分X、Y型积分的意义和图1知道，（15）中第一项对应 $t_{2} > t_{1}$ ,第二项对应 $t_{1} > t_{2}$ ，故知，（15）中两项的被积函数自动是编时好了的，故可以加上编时算符T而不会改变结果，得：

而在编时算符T中，两个算符可以交换次序，故（15）的第一项等于

故两项的被积函数相同，又因为根据图1，（15）的两项中的积分区域分别为两个三角形，故根据二重积分的几何意义（见为知，或者其实可以直接从（15）两项的积分号直接从数学看出来），知，可以将总的积分区域看成矩形（但我觉得这样的操作就没有显示“编时算符对应的先算哪个积分，后算哪个积分”，见金老师高量讲义中我写的笔记中的“验证”，编时算符实际上只是一个“形式”，告诉我们先算哪个积分），故（14）这个积分最终化为：
。
推广到（13）中的第n项，得到：

综上，（13）变成：S算符的戴森级数表达式2：
（16）（17）（第二行这个公式只是对第一行这个公式的一个记号，原因见金老师高量讲义）

1.这个表达式的推导我觉得上面的推导不好，没有显示编时算符的含义，但学生友好量子场论也是按上面的方法推导的，但我还没看，也许上面的过程有其他的道理，没时间研究，凝聚态还很多问题应研究。
2.这个表达式2在金老师高量讲义中有我的一个推导方法，和这里的推导方法不同。根据高量中我写的推导知道，这个表达式只是一个形式，实际计算时用的还是表达式1

5.QFT

前面其实使用的都是相互作用绘景和薛定谔方程。下面进入QFT：

1）相互作用绘景下的势、场算符

，若相互作用拉氏量没有导数耦合，则，则（18）。
例如对 $ϕ 4$ 理论，，则相互作用绘景下的势能：

其中相互作用绘景中的场算符：（重要，背），注意这和自由KG场论中的海森堡绘景中的场算符一样，这样自由场论中平面波展开等很多都可以用，这就是相互作用绘景的好处。

这是根据得到的。

对一般的（18），得：相互作用绘景下的势：
$V_{I} (t) =$ （19），就是将（18）的H中的所有场算符换成相互作用绘景中的场算符即可。

2）QFT中的S算符

对定域QFT，根据(16)（17）和（19），得到S算符：
S=
=（20）

但是我觉得（20）不能直接从（16）得到，因为（16）是对时间积分，而（20）是对空间点x积分。（20）的正确证明见学生友好量子场论201页，但我没时间研究。

S矩阵元包含了所有的对称性，包括洛伦兹对称性：
（21）。

下面验证（21）成立：
因为没有导数耦合，则，而L是洛伦兹标量，故H也是洛伦兹标量，故有：（22）
可以证明若，即是类时间隔时，则在洛伦兹变换下不变的。若是类空间隔，根据因果性，故要求。故综上，将（22）和以上结论代入（20）可以验证（21）确实成立。

3）QFT中的S矩阵元

；相互作用绘景，标量场情况。在处理（20）时，会出现这样一项。处理这一项应用wick定理。
自由场中讲过，平面波分解可以将自由场分解成正频部分（它伴随湮灭算符）和负频部分（它伴随产生算符）：（23）

此式原因是因为相互作用绘景下的场算符与海森堡绘景中的自由KG场论中的海森堡绘景中的场算符一样，故见前面自由KG场论中海森堡绘景的场算符的平面波展开可以知道。
这里开始省略I角标

考虑：

原式=
为了写成正则排序形式（即产生算符都在湮灭算符的左边），

此时，除了对易子，都处于正则排序。

正则排序符号定义为：将它包含的所有算符置换为正则排序，例如：

定义两个场的缩并：
（和编时乘积符号类似，也是时间晚的写在左边）
它实际上就等于费曼传播子. 费曼传播子写得最好的是在学生友好量子场论73-77页

证明：费曼传播子的定义：
代入（23），得到：
，
上面推导具体见学生友好量子场论202页和73-77页中的（3-127）式，写得很好！

注意费曼传播子是一个c数，以上两个场的缩并也是一个c
综上，编时和正则排序之间的关系：

注意因为费曼传播子是一个c数，故右边乘一个单位算符。
wick定理：恒等式：编时和正则排序之间的关系：

所有可能的缩并：对m个场进行成对的缩并，每种可能的方式都产生一个项。
例如，m=4,
（32）
当缩并符号连接两个不相邻的算符时，定义为：

因为 $ϕ_{1} 和 ϕ_{3}$ 缩并是C数，费曼传播子，故可以提出来。

而N（）理解为：

N作用于单位算符等于单位算符，一般可以不写

（32）的真空矩阵元

若计算（32）的真空矩阵元，则因为

此式证明：若残留有算符，则算符中的产生算符可以作用于左边，结果为0，消灭算符作用于右边，结果也为0，故得证。

故真空矩阵元中，任何项若残留有算符未被缩并，则结果为0；只有最后三个：N（）在真空矩阵元的作用下还存在。
综上，（32）的真空矩阵元为：（33）
每个场在一个不同的时空点，用点表示 $x_{1}$ 到 $x_{4}$ 的每个点，且每个 $D_{F}$ 中的x-y都用一条线连接。然后，（33）可以表示为三个图的总和：

这个图的原因我认为是因为学生友好量子场论书中说过了，费曼传播子的物理意义是：初始是真空态，然后在y点产生传递相互作用的虚粒子，在x点湮灭它（或者先在x点产生一个传递相互作用的虚反粒子，再在y点湮灭它；这两种情况等价）最后又回到真空态，费曼传播子的物理意义是这整个从初始真空到最后真空的过程的几率幅，其平方表示整个这个过程的几率。故根据此物理意义可以知道上面这个图。

wick定理的证明是数学归纳法。省略。

6.第一个散射截面的例子

，
对2个粒子散射后变成2个粒子的散射：（角标分别是A,B,1,2）
根据（20），有：
（35）保留到 $λ$ 的一次方项，称为现代的玻恩近似.
下面计算S矩阵元，

1）计算（35）的第一项的S矩阵元：

根据KG场论中的内容，矩阵元和绘景无关，故可以在薛定谔绘景中计算，
（37）

第一次作业题中好像算过这个，反复利用对易关系。老师说还应注意全同粒子的特性？我不懂。不过（37）这个公式代表向前散射（即末态的动量方向f和初态的动量方向i相同，见前面说过的S矩阵元），很平庸，不重要。

根据（37）可以画出：

2）下面计算（35）第二项的S矩阵元：

其中会出现：，利用前面wick定理m=4的结果，得到：
（38）

设（这个T不是编时算符，是T算符），则对比（35），可以知道矩阵元：
（39）

将（38）代入（39）后，得到的第一项：

因为=，，只有中间画圈的部分有两个a和 $a^{†}$ 才非零，反正可以证明中只有的矩阵元才不为零。考虑。>还可以证明

反正经过复杂的计算，得到第一项=

对比为知”相互作用场论“中的公式：，得不变振幅： $m = - λ$

将（38）代入（39）后，得到的第一项所对应的费曼图：
因为m是 $λ$ 的一次方，故只有一个顶角，

对这个费曼图给一个费曼规则，即顶角因子 $i m = - i λ$ .
画成这个费曼图是因为4个动量都在一个 $δ$ 函数中，故这种图是完全连通的，每个点都可以走到任何一个点。

将（38）代入（39）后，得到的第二项所对应的费曼图：

其中的圈来源于：
==，故发现有一个动量的不确定（为什么？）
圈图的含义是在这样一个封闭的费曼图的结构，动量不确定。

这种图不是连通图，这种图不能写成只有一个4动量守恒的 $δ$ 函数类似的形式，而是类似于（35）的第一项的S矩阵元有两个 $δ$ 函数的乘积，所以以上这种费曼图不考虑。

以后会讲不考虑的原因。

将（38）代入（39）后，得到的第三项所对应的费曼图：

其中的没有外线的图称为真空泡泡图。以前讲过相互作用理论真空的复杂性，这种真空泡泡图物理上对应从自由场论的真空到相互作用理论的真空的能量的shift。
以后会说，真空泡泡图可以不考虑。

综上，在T矩阵元中，其实只有“将（38）代入（39）后，得到的第一项”有贡献，故将得到的不变振幅代入散射截面表达式【见“相互作用场论”（42）式，peskin书（4.85）】，得：

总截面：将上面公式对d $Ω$ 积分，再除以2（因为末态有两个全同粒子，可以交换这两个粒子，其实位形也一样
；），得：

上面的计算过程的再次说明（因为前面“（38）代入（39）后，得到的第一项”计算过程没说清楚）：

（38）代入（39）后，得到的第一项就是这个第一项对S矩阵元的贡献：
（43）
其中写法：
在中，前面说过，只有对应的矩阵元不为零。

考虑场算符和外态缩并：
比如，可以发现只有它的正频部分有贡献（怎么发现，可能是还要通过计算才知道负频部分无贡献），

计算此积分的方法：使用产生湮灭算符的对易关系，因为使用对易关系之后，湮灭算符作用于真空得到0，故最后是一个C数。最后得到的结果是。使用符号来表示此计算结果，即定义场算符和外态缩并：
（
类似，计算得到
（但少了真空）
故在计算S矩阵元的贡献时，这种情况有4种，因为4个 $ϕ$ 都可以和 $P_{A}$ 缩并。再考虑，则一共有4X3种情况。
再考虑，故最后一共是4X3X2X1=4!=24种情况。这24种情况得到的矩阵元实际上是相等的：。
故（38）代入（39）后，得到的第一项就是这个第一项对S矩阵元的贡献：
（43）=
=（46）
对比可以知道，（46）正好满足有一个4度的 $δ$ 函数的形式，故不变振幅 $m = - λ$ .

（38）代入（39）后，得到的第二项就是这个第二项对S矩阵元的贡献：

但是其中可能是缩并方式，也可能是第一个 $ϕ$ 和 $P_{A}$ 缩并，所以有两种缩并方式（为什么这两种缩并方式不等价？不知道），故系数前乘2，即

=
此第一项对易的费曼图：
$P_{2}$ 和 $P_{B}$ 直接连起来，因为没有发生什么。而对 $P_{1}$ 和 $P_{A}$ ，实际上，在x点有一个费曼传播子 $D_{F} (x - x) = D_{F} (0) =$ ，故根据费曼传播子的物理意义，知道：

因为学生友好量子场论书中说过了，费曼传播子的物理意义是：初始是真空态，然后在y点产生传递相互作用的虚粒子，在x点湮灭它（或者先在x点产生一个传递相互作用的虚反粒子，再在y点湮灭它；这两种情况等价）最后又回到真空态，费曼传播子的物理意义是这整个从初始真空到最后真空的过程的几率幅，其平方表示整个这个过程的几率。

注意因为前面系数中有
，故其实没有完全抵消1/(4!)，这里出现的1/2称为对称因子。
除了上面这个费曼图，另外还会有几个费曼图，故最后得到：（38）代入（39）后，得到的第二项对应的费曼图：

（38）代入（39）后，得到的第三项就是这个第三项对S矩阵元的贡献：

其中的矩阵元在计算（37）时已经算过，也得到了其费曼图：.
但因为前面还有，因为平方，故
，根据费曼传播子等于知道，这里有两个动量不确定，在图中分别记为 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 。而系数计算得：
故真空泡泡图：

但为什么泡泡和线是分开的？

老师说真空泡泡图代表从自由理论的真空变成相互作用理论的真空

为什么，不知道

剩下一个积分，将系统放在空间盒子和时间盒子中，故=VT；
综上，（38）代入（39）后，得到的第三项就是这个第三项对S矩阵元的贡献：

但其不具有这种形式，故不能直接得到不变振幅。
但是考虑真空泡泡图，可以抽取物理真空的能量密度（这个结论需要在路径积分量子化才更能清楚）

。
这种图是完全连通的，每个点都可以走到任何一个点，但、这两种图没有连通！
先不考虑这两种不连通的图，以后会讲原因。

3）下面考虑（35）展开到 $λ$ 的平方阶：

根据（20），得到：
（53）称为次领头阶的S矩阵元的贡献
根据wick定理，将wick定理代入（53），得到的第一项：
（54）
考虑所有可能的场算符和态的缩并，因为有4个态，8个场算符，故有4个场算符是内线缩并，

注意先后顺序缩并有一个double counting，故除2，具体见56节课36分钟。

内线缩并是成为C数了，故

再继续考虑外线缩并，有2X2=4种情况。
（55）
故根据此式可以知道费曼图：

下面考虑系数中的对称因子（56节课39分钟）：通过在积分中交换x和y的方法（老师没说为什么）可以知道泰勒展开的系数永远不用考虑：

故根据（55）、内线缩并、外线缩并，知道：
(54)=
代入费曼传播子的表达式，得到：43分钟
可以发现，对顶角x、y都是一个4动量的积分，各自给出一个4度的 $δ$ 函数，故
（54）=

注意q和r都是动量，上面公式中的 $δ$ 函数表示动量守恒，故有。故对上面公式先利用这个 $δ$ 函数对r积分，得到：
（54）=（59）
根据此式知道，在上面的费曼图中，动量q没有确定，称为圈动量q没有被决定.
因为上面费曼图中只有一个圈动量q没有被决定，故此费曼图称为单圈图。

上面（59）式还可以根据费曼图、费曼规则写出来：

每个顶角贡献一个 $- i λ$ ，4个外线对 $ϕ$ 4理论来说都是1，内线就是费曼传播子（动量空间费曼传播子）：

只有一个未决定的动量，故上面公式积分：

根据费曼规则，没有1/2，但根据（59），知道（59）中还要一个1/2.
对称因子的计算：老师说
，其他的没有什么好方法，就是按照前面的过程计算，比较麻烦一些。

（54）对应的不变振幅

根据和（59）知道，（54）对应的不变振幅：
=

在（53）次领头阶的S矩阵元的贡献中，还有几个费曼图：第一个称为：S通道，第二个称为t通道，...

有一些软件包，给一个拉氏量就能给出所有的费曼规则。给初末态粒子，告诉算多少阶，然后自动就能产生费曼振幅。
但是老师说，我们学生应该知道一些简单的图怎么来的，很重要。

7.综上，对二道散射，4个粒子都是全同粒子，S矩阵元中的非平庸部分：

=

其中
，因为有VT，后面会讲可以将其扔掉，但是
，外腿上有一个单圈图的修正：

1）计算外腿修正的图（此费曼图属于 $λ^{2}$ 阶）：

=（61）
其中1/2是单圈图对称因子，是二阶展开中的系数。
将wick定理代入（61）后，考虑得到的第一项（此项其实就是将（61）中的T换成N）：
56节的58分钟：
第一步：内线缩并：有4X4种
第二步：外线缩并：3
第三步：再内线缩并，有1种

第四步：剩下的三个 $ϕ_{x}$ 和p1、p2、 $\p_{B}$ 缩并。有3！种。

（61）中的最前面的1/2系数可以不用考虑，消掉，因为可以考虑将积分中的x和y交换顺序，故可以抵消这个1/2.但前面4步中的缩并的排列组合需要考虑：（61）变成：
=
然后再代入费曼传播子的表达式（实际上这个过程就是在将坐标空间的费曼传播子换成动量空间的费曼传播子），然后交换积分次序，再将 $d^{4} x 、 d^{4} y$ 积分掉，然后得到两个4度的动量守恒 $δ$ 函数，最后结果为：
（64）
费曼图中泡泡的顶角和中间的顶角给出两个 $δ$ 函数。
对（64）中的q积分得：
=（65）
根据（65）可以知道外腿修正的图对应的不变振幅：im=（66）
对在壳的入射粒子：，会发现（66）中
得到散射截面无穷大。这是一个问题。
其实，代表费曼图，一个KG粒子流入：有外腿的修正的情况下：
（67）
这些图都会有1/0=无穷这个额问题。这种无穷大问题来自外腿的在壳条件。
这些真空泡泡图是使得从真空到相互作用理论的真空。
以前讲绝热近似时，散射过程是从一个裸电子变成物理电子。（67）这种图可以理解为起一个使得裸电子变成物理电子的效应。

老师没说为什么

截腿（这是一个动词）：

考虑一个 $ϕ$ 4理论的费曼图：

截腿的含义是在主干的外部将外腿截掉(去掉），例如:

计算S矩阵元时，只需要计算截腿的费曼图就可以
对S矩阵元有贡献的费曼图需要满足规则：
=所有完全连通、截腿的费曼图
完全连通指的是所有外线都互相连通，并且还要求：没有真空泡泡图！（以后会讲为什么）