國科大量子場論筆記相互作用場論3

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1.1節
1.

λ ϕ 4

理論的費曼規則
1）每一個頂角：
2）每一個傳播子（內線）
3）每一個外線（外線是場算符和態縮並得到的）
4）在每一個頂角，強制要求4動量守恆
5）對每一個未決定的圈動量，引入一個圈積分：
6）除以可能存在的對稱因子
7）例子：單圈圖
綜上，對此費曼圖，費曼規則得到的S矩陣元的貢獻：
2.

λ ϕ 3

理論的費曼規則
3.曼德斯坦姆變量
4.標量QED
定義縮並：可以證明：
1）例子
引入粒子流的箭頭：
2）例2：還是標量QED：（我覺得有可能考，背）
ward恆等式：
5.費米子的費曼規則
1.2節 Yukawa理論和QED的費曼規則
1.Yukawa理論的費曼規則
1）狄拉克場算符：
2）場算符和外態的縮並（重要，背）：
3）KG粒子作為外線的費曼規則：
4）頂角的費曼規則：
5）例1：
根據前面的費曼圖和頂角費曼規則，外線費曼規則來直接得到不變振幅（31）式的方法：
費米狄拉克統計：
6）例2：
7）費米子雙線型其實就可以當成一個玻色子型算符
8）閉合的費米子圈總是給出

- T r [. . .]

這種形式（考試會考）
2.QED（旋量QED）
2）QED的頂角
3）QED(旋量QED)
實驗中測量的是非極化截面（考）：
跡的一些計算方法
3.康普頓散射

1.1節

1. $λ ϕ 4$ 理論的費曼規則

1）每一個頂角：

2）每一個傳播子（內線）

對零自旋的中性粒子，動量的流向向左向右其實都沒關系

3）每一個外線（外線是場算符和態縮並得到的）

分別是粒子流入、流出

對標量理論，1；而對更復雜的理論，會有旋量波函數或極化矢量

4）在每一個頂角，強制要求4動量守恆

流入的動量和等於流出的動量和

5）對每一個未決定的圈動量，引入一個圈積分：

6）除以可能存在的對稱因子

7）例子：單圈圖

根據5，其有未決定的動量k，根據4，則圈的另一線的動量根據動量守恆確定了，是 $P_{A} + P_{B} - k$ 。
根據5，先寫下圈積分：，根據1，頂角是，根據3，外線都是1，根據2，

順便提一下，對圈圖來說，分母的 $i e$ 一般很重要，而對樹圖來說，分母的 $i e$ 不重要。

根據6，求對稱因子：
每個頂角的是考慮縮並，有24種可能性，前一節課中一步一步算，得到了對稱因子是1/2.

對稱因子沒有別的計算方法，就在直接算

對其他圖：對t道的圖：，可以計算發現對稱因子也是1/2
對u道的圖：
，可以計算發現對稱因子也是1/2

綜上，對此費曼圖，費曼規則得到的S矩陣元的貢獻：

2. $λ ϕ 3$ 理論的費曼規則

以前說過，因為 $ϕ$ 的符號是負的，故這個理論不是一個真實的理論，沒有穩定的基態，能量不囿於下。但是可以作為一個例子算微擾論。
考慮一個粒子衰變成兩個粒子的過程：

，最后發現頂角：

考慮 $ϕ 3$ 理論中兩個粒子的散射，

可以發現，非平庸的散射振幅出現在 $λ^{2}$ 階：分別是s道，t道，u道，...

如果內線的動量被確定，就不需要引入
。
這些圖稱為樹圖，所有內線的動量被確定。
對s道，不變振幅：

對樹圖來說，分母的 $i e$ 不重要，故這里舍去。
對t道，

對u道，

3.曼德斯坦姆變量

引入在粒子物理中2到2散射或1到3散射中很重要的運動學變量，稱為：曼德斯坦姆變量：
對2到2散射：且可以證明：

可以證明：
如果考慮每個粒子都不相等，則（粒子的靜質量的和）

4.標量QED

考慮（pi介子和光子）相互作用，

（1）
此理論有U(1)規范不變性。
$j^{μ}$ 是復的KG場論中對U(1)相位轉動的守恆流，其守恆荷就是電荷，因為它和光子場直接耦合。
共軛動量：

標量QED（1）中這種相互作用項是導數耦合。
微擾論時，都是相互作用繪景。可以發現，即使有非協變項，最后也不影響，即使有非協變項，也會被傳播子中的非協變項抵消。
散射算符即S算符可以寫成：（2）

從路徑積分量子化的角度更容易證明此公式。

場算符：

出於簡單，寫成：

定義縮並：可以證明：

外線縮並：
（規律是這種場算符和右矢縮並，得到的都是正頻 $e^{- i p . x}$ ，不管是粒子還是反粒子）
（規律是這種場算符和左矢縮並，得到的都是負頻 $e^{i p . x}$ ，不管是粒子還是反粒子）

1）例子

考慮電子釋放一個光子，波浪線代表光子，用虛的點划線代表帶電的KG粒子。

將拉氏量密度（1）中的相互作用項代入散射算符公式（2），展開，得到：

再縮並：

；

故知道，第一個費曼規則：
電子輻射一個光子：

電子吸收一個光子：

寫費曼規則時，只寫頂角的信息，不寫外線。

正電子輻射一個光子：

發現費曼規則：

一個光子變成電子+正電子：
（9）

引入粒子流的箭頭：

不同於動量的箭頭，我們在虛線上加箭頭，對粒子來說，箭頭的指向和動量方向一致，和時間方向也是一致的：

對反粒子來說：流向和正粒子是互逆的：

箭頭方向必須是連續的，這種連續體現了電荷守恆。對帶電荷的粒子，一般都會在粒子線上畫一個箭頭。但中性粒子，比如光子，不會在線上畫箭頭。
一個光子變成兩個電子：這樣電荷不守恆。
一個電子變成正電子加光子：
，電荷也不守恆，箭頭不連續。

故，（9）及其以上的費曼規則可以總結為：
若虛線上的箭頭和動量箭頭一致，則：

若虛線上的箭頭和動量箭頭不一致，則有一個負號：

還可以證明海鷗頂角的費曼規則：

在計算時應和光子的極化矢量縮並。

2）例2：還是標量QED：（我覺得有可能考，背）

(12) 注意最后一個費曼圖是海鷗頂角
在 $O (e^{2})$ 階，有以上3個費曼圖。
對t道費曼圖：

其中 $ε$ 是極化矢量，因為光子是在末態，故加一個復共軛。
但還有內線：KG傳播子。還有反粒子、光子，故綜上，不變振幅：

ward恆等式：

對於任何一個S矩陣元，當所有外線都是在殼時，對任何一個動量為k的光子，不變振幅可以寫成這種形式：，還可以證明 $m^{μ}$ 滿足：.
例如對（12）中三個費曼圖的總和，可以證明。
后面在康普頓散射一節有關於這個定理的一個例子。

證明ward恆等式很難，算了。

5.費米子的費曼規則

編時算符：
（實際上應該寫出 $α$ 、 $β$ 這樣的狄拉克旋量場的指標， $α$ 、 $β$ 取1，2，3，4）
定義=

時間更晚的在左邊，但是當y在左邊時（其實是當需要將場算符交換時），有一個負號

此在狄拉克場的費曼傳播子一節講過。

狄拉克場的費曼傳播子是一個4X4矩陣（指標是 $α β$ ）：
=

和KG場論的費曼傳播子相比，分母是一樣的，分子多了一個

設
推廣上面兩個量的編時乘積，定義編時乘積：
==
其中，場算符的每次交換都乘一個負號。

定義正則排序：產生算符在湮滅算符左邊。算符的每次交換產生一個負號：
兩個狄拉克場的wick定理：

其中，兩個狄拉克場的縮並：

可以證明，這兩個狄拉克場的縮並等於費曼傳播子（背）：
=
還可以根據狄拉克場的等時量子化條件知：
對於在正則排序符號中的縮並：
（4.110）
縮並前將 $ψ_{2}$ 和 $ψ_{1}$ 交換，故有一個負號；交換之后是一個c數，故可以放到正則排序符號N的外面，故得到（4.110）.
費米子場的wick定理：
（4.111）
玻色子場和費米子場都存在時的wick定理：
（其實這個公式也就是：對玻色子用玻色子場的wick定理規則，費米子用費米子場的wick定理規則）
不過其中對玻色子場，兩個場算符交換，沒有問題；但是對費米子場，對於在正則排序符號中的縮並，縮並前若將 $ψ_{2}$ 和 $ψ_{1}$ 交換，會有一個負號，等。

1.2節 Yukawa理論和QED的費曼規則

1.Yukawa理論的費曼規則

其中 $Γ = 1 o r i γ_{5}$ .

1）狄拉克場算符：

（21）

2）場算符和外態的縮並（重要，背）：

與電子的縮並：電子在初態情況：
，再代入（21）
根據泡利不相容原理，只有正頻部分有作用，將電子態寫成產生算符作用於真空，然后根據產生算符和湮滅算符的對易關系，就能算出（22）：
（22）
對（22），入射的是電子（可以根據為知、量子力學新講和金老師高量講義含時散射理論中相互作用繪景知道，S矩陣元的物理意義是：根據波函數的普遍物理詮釋，S矩陣元：負無窮時刻的 $α$ 態在正無窮時刻躍遷到β態的概率幅，S矩陣元中右矢是初態），費曼圖：

一般也會在粒子線上畫箭頭，稱為費米子箭頭，其物理意義和標量QED的物理意義相同。
注意，在每個流入的電子線旁還會寫一個u旋量。

與在末態的電子縮並的情況：
（23）

在每個流出的電子線旁還會寫一個 $\bar{u}$ 旋量.

與在初態的正電子縮並的情況：
（24）

在每個流入的正電子線旁還會寫一個 $\bar{v}$ 旋量

與在末態的正電子縮並的情況：（25）

在每個流入的電子線旁還會寫一個v旋量.

3）KG粒子作為外線的費曼規則：

4）頂角的費曼規則：

可以證明:

5）例1：

出於簡單，省略自旋指標：

S算符根據戴森級數展開到g的一階，其對S矩陣元的貢獻：
（28）
因為此過程的初態和末態都是費米子，沒有玻色子 $ϕ$ ，故玻色子 $ϕ$ 應該是在內線中，而內線是用費曼傳播子表示，而縮並就會得到費曼傳播子，故兩個 $ϕ$ 應該縮並：

將編時算符T換成N，再考慮N符號中所有可能的場算符的縮並、場算符與外線的縮並，此時就是在將整個wick定理代入（28）式了。
兩個 $ϕ$ 縮並之后提出來，得：

因為此過程只有電子，沒有正電子，故根據（22）、（23）可以知道，縮並必須按照（22）、（23）來縮並。（28）的縮並的典型的貢獻：
（29）
peskin117頁說了，可以將系數中的1/2去掉，因為交換x和y會得到一個相等的項，故可以去掉。
實際上，Yukawa理論永遠沒有對稱因子。
根據（29）可以得到費曼圖：

省略計算（29）的過程，最后得到：

對其中任何一個 $δ$ 函數積分，得：
=
故不變振幅im=（31）
不變振幅im是一個復數（c數），不算4x4的矩陣。

根據前面的費曼圖和頂角費曼規則，外線費曼規則來直接得到不變振幅（31）式的方法：

必須逆着費米子線寫費曼規則！就能直接寫出（31）式。58節25分鍾。

費米狄拉克統計：

省略不寫N，根據
，知道

（32.1）

而另一個費曼圖：

（32.2）
（32.1）與（32.2）相差一個負號，而以上兩個費曼圖的差別在於相當於交換了 $p^{'}$ 和 $k^{'}$ 兩個粒子。（32.1）與（32.2）相差一個負號是體現了費米狄拉克統計。
根據費曼規則可以寫出以上兩個圖總的不變振幅：

=

6）例2：

根據費曼圖可以寫出縮並，使用wick定理，見58節28分鍾。

最后得到：(33)

必須逆着費米子線寫費曼規則！也可以寫出(33).
注意，在此圖中內線是費米子線，內線和外線的費米子箭頭必須是連續的！

7）費米子雙線型其實就可以當成一個玻色子型算符

處理wick定理時，若正則排序符號N中有一堆費米子雙線型，比如計算：

注意整體一對移動時，不會有負號（可以利用移動一個場算符有一個負號來驗證，確實）。這種費米子雙線型其實就可以當成一個玻色子型算符.
將上面公式中的和交換順序，則變成：
=......

8）閉合的費米子圈總是給出 $- T r [. . .]$ 這種形式（考試會考）

以后算QED：光子-光子散射：

或者Yukawa粒子散射：
中間都有費米子圈。
寫wick定理時，會發現有：
逆着費米子線讀，可以寫出：
（37）
將（37）中最后的移到最前面，可以知道會出現一個（-1）系數，還可以證明這個正則排序（37）等於以下的跡：
（37）=
=

老師沒有證明。

2.QED（旋量QED）

QED的相互作用項：V=
QED中才有的新的頂角：
（波浪線是光子）
光子傳播子：
（兩端是兩個洛倫茲指標 $μ 、 ν$ ）

光子外線：
、

2）QED的頂角

考慮電子和電子庫倫散射、電子和正電子庫倫散射：

peskin書根據此計算出了庫倫勢的表達式。

3）QED(旋量QED)

相互作用拉氏量有兩部分：電子場的QED相互作用+ $μ$ 子場的QED相互作用

考慮：
散射算符S：

展開到 $e^{2}$ 階，對其中的 $e^{2}$ 階：

代入相互作用拉氏量，最后得到：（因為沒有光子在外線，故光子場應縮並）:
...

可以發現，在領頭階只有一個費曼圖（老師說費曼圖的推導就不講了）:

背：逆着費米子箭頭來讀出費曼規則：從開始讀，就可以直接寫出不變振幅：
（45）
這是一個c數，不是矩陣。

在樹圖中，一般忽略光子傳播子中分母的 $i ε$ ，不重要，在圈圖中才重要。

重新安排一下（45），並省略寫自旋指標，得：

下面求：
求復共軛，注意下面是一個數，所以復共軛等於厄米共軛：
=
故不變振幅的模方：
（47）

實驗中測量的是非極化截面（考）：

初態制備的時候，大多數實驗，電子束和正電子束是非極化的； $μ$ 子探測器末態時也無法分辨極化。故實驗學家感興趣的量是對初態電子和正電子的自旋s、s'求平均，對末態 $μ$ 子的自旋r和r‘求和。
對初態電子自旋求平均：
這是因為：電子有兩種極化，末態也有兩種極化，故除以1/2.
對末態 $μ$ 子的自旋求和：
初態自旋求平均，末態極化求和：
（48）
將（47）代入（48）中，注意只有 $u (p)$ 和 $\bar{u} (p)$ 的自旋指標是s，利用狄拉克場中講過的自旋求和公式：

（49）
得到：（48）==（50）

寫成跡的原因見peskin書

在（50）中代入極化求和公式（49）得到：
（51）
第一個跡對應的是電子線，第二個跡對應的是 $μ$ 子線。

為了計算（51），考慮：

跡的一些計算方法

n個 $γ$ 矩陣乘積的跡：

任意奇數個 $γ$ 矩陣乘積的跡等於0.

$γ^{5}$ 乘以其他任何奇數個 $γ$ 矩陣的跡等於0.

（58）

,最后一行右邊是列維-希維塔張量。

利用（58）得到的表達式可以通過以下等式簡化：

以上公式的證明見peskin書

在真實的物理過程中，電子的質量是0.5MeV， $μ$ 子的質量是電子質量的兩百多倍。高能所的質心系能量是3GeV,這是電子質量的6000倍，故在任何好的情況下，可以將電子質量設為0，而保留 $μ$ 子的質量，這會簡化計算。
根據（51）和
，根據peskin書136頁可以最后算出，在取電子質量為0時，散射截面：
（59）

在質心系，高能極限的散射截面:
在非相對論極限，散射截面是各向同性的：

以前講過，螺旋度和手征性概念重合。
在非相對論極限下，不算螺旋度守恆，而是自旋守恆。