相互作用場論

第章

第章
1.1節
1.回顧一下相互作用：
1）比如可以在KG場論中引入 $\varphi$3理論。
2） $\varphi$4理論：
3）湯川理論：狄拉克粒子和一個自旋為零的粒子耦合
4）QED
a.QED拉氏量：
b.QED拉氏量（5）是規范不變的
c.EL方程
5）標量QED
6）楊米爾斯場論
2.哈密頓量
3.相互作用QFT的困難
4.粒子的衰變寬度、散射截面
1）S矩陣：
下面考慮龐加萊對稱性（其他對稱性可以類似考慮）：
下面考慮內稟對稱性：
考慮時間反演對稱性：
考慮空間反演對稱性：
1.2節 散射截面和衰變率
下面介紹運動學
4.老式微擾論/Lippman-Schwinger 方程 不考
下面開始應用（51）式：

TOC

1.1節

：最多兩階導數

其中H_{0}=


以上只是無相互作用場論。

1.回顧一下相互作用：

1）比如可以在KG場論中引入 $\varphi$3理論。

EL方程：

2） $\varphi$4理論：

這些方程都是非線性方程。

3）湯川理論：狄拉克粒子和一個自旋為零的粒子耦合

其實相互作用拉氏量也可以寫成：
這一類都稱為湯川理論。

4）QED

a.QED拉氏量：

量子化電磁場時，
類比經典情況的拉氏量，這是說 $A_{\mu }$耦合一個外源。規范不變性要求 $j^{\mu }$必須是一個守恆流。
知道：QED拉氏量中
，根據諾特定理知道， $j^{\mu }$是守恆流，即。
這一項就是將狄拉克場和電磁場耦合起來。

QED拉氏量等於（背）：

引入協變導數：
其中e：電子電荷，在peskin書中，電子電荷是負的，
則QED拉氏量等於：（背）
（5）

b.QED拉氏量（5）是規范不變的

U(1)規范變換（包含（6）和（7）兩個公式）：（6），其中 $\alpha$是依賴於時空的任意一個函數，因為依賴於x，故稱為是一個定域的對稱性。
（7）（量子化電磁場一節講了）（但是學生友好量子場論書中講的庫倫規范不一樣）
根據（6）、（7）得到：在U（1）規范變換下， $D_{\mu }\psi$的變換：
（8）

證明：，代入（6）、（7）得到：=。得證。

根據（6、7、8）可以驗證QED拉氏量（5）是規范不變的。

c.EL方程

5）標量QED

前面講的是旋量QED，旋量QED是考慮一個自旋1/2的電子和光子相互作用，但原則上還可以考慮帶電的零自旋粒子，比如 $\pi$介子，和光子相互作用，這稱為標量QED。
復KG場論：

其中 $\varphi$是一個復標量場。
將其偏導數變成協變導數即變成相互作用的理論：

=
在諾特定理筆記中講了 $j^{\mu }$就是復的KG場論中U（1）的諾特流（守恆流），其零分量對全空間積分就等於電荷。
標量QED比旋量QED更復雜在於：

6）楊米爾斯場論

它是旋量QED的簡單推廣，

沒記筆記



QCD的相互作用項實際上很復雜。
無質量粒子有：
零自旋的無質量粒子：這是由Goldenstone定理保證的。Goldenstone定理：一個理論如果有連續對稱性的自發破缺，則它一定會出來Goldenstone玻色子，這個Goldenstone玻色子就是自旋為零的玻色子。這是非常有趣神奇的理論。
自旋為1/2的無質量粒子：


有一個定理：可重整理論所含有的最高階的算符是量綱為4.
故不能寫 ${\varphi }^5$等。
上面說的 ${\varphi }^4$、QED等理論都是可重整的。標准模型也是可重整的。
不可重整的含義：如果理論中含有高量綱算符，這種理論，不能將發散吸收到系數中，這種理論被認為沒有預言能力。但后面發現，不可重整理論有一個有效的能標，超過這個能標，這個理論就失效了，故現在認為只要低於這個能標，這個不可重整化理論也是有預言能力的，比如手征微擾論，描述低能強相互作用。
標准模型的有效理論：是標准模型拉氏量加上高量綱算符。

這門課是關注可重整理論。

2.哈密頓量

一般來說，若相互作用項不帶導數，會發現相互作用的哈密頓量密度=-相互作用拉氏量密度：
（13）
例如QED、 ${\varphi }^4$理論中相互作用拉氏量中都沒有導數耦合，故這兩種情況，（13）式成立
若相互作用帶導數，會有點麻煩，共軛動量會和自由場的不太一樣
哈密頓量： $H=H_0+V$
因為拉氏量是定域的，故一般哈密頓量也是定域的，但一個例外是考慮QED， $H_{QED}=H_0+V$
其中 $H_0=H_{Dirac}+H_{Max}=$


其中V的第一項是瞬時的超距的庫倫相互作用，這一項不是局域的。我們希望V能寫成這種形式：，H_int是一個只有局域的場的乘積。故因為第一項不是局域的，所以你可能會有點擔心，但其實問題不大，因為費曼傳播子在庫倫規范下，第一項庫倫項會被去掉，而V中的第二項還是局域的。

3.相互作用QFT的困難

考慮 $\varphi 3$理論（以前說過這個理論不好，它沒有穩定的基態），其共軛動量：

根據（13）知道哈密頓量密度：
等時量子化條件：

在t=0，薛定諤繪景，平面波展開：
（16）
為了滿足正則量子化條件，會發現：
，這和自由場論中的一樣。
復雜性出現在相互作用：
自由哈密頓量：

相互作用項：（L=T-V，H=T+V，故下面的V確實是這個形式）
，代入(16)，得到：V=
（19）
其中：

從V中可以看出只含義一個動量守恆的 $\delta$函數。
可以證明:

這個的后果就是：相互作用理論的真空往往不同於自由理論的真空

湮滅算符是湮滅自由理論的真空，不一定湮滅相互作用理論的真空：、。

因為含相互作用項的哈密頓量含有非線性項，故很難將哈密頓量對角化。故將哈密頓量的本征態、能級求出來是一個非常困難的事情。

另外在海森堡繪景下，自由場論時，

根據對易關系，以前算過，，故
。
但若在有相互作用的情況，

類似前面自由場的過程，得到：
（26）
根據（19）得到：

故根據（26）得到：

這是非線性方程，很難解，故在海森堡繪景下，的解析表達式很復雜，解不出。海森堡繪景下的場算符也很復雜解不出。

但有數值解法，在真實的真空下的海森堡繪景的算符構造的兩點關聯函數：
路徑積分：
=，進行wick轉動，就是將時間延拓到虛時間，

會發現， $\varphi$取任何實數時，指數因子是壓低的， $\varphi$是連續的，無法算，故wilson用時空離散化，這樣泛函積分就能積出來關聯函數。這就是格點量子場論。蒙特卡洛方法。取連續極限：a趨於0的極限。這是非微擾的方法。
另一種微擾論方法：
，
若相互作用部分遠遠小於自由部分，微擾論。若中，則可以進行小量展開，微擾論。
但特別注意微擾論有適用范圍，必須論證耦合常數很小。
比如：

QED就是用這種方法，而且有效。
而對於強相互作用QCD，在能量低時，QCD的耦合常數是很大的，不能用微擾論，比如

這門課是用費曼圖來微擾論計算。

4.粒子的衰變寬度、散射截面

粒子的衰變寬度、散射截面這兩個是可觀測量，與這兩個可觀測量項聯系的是S矩陣。

1）S矩陣：

例如：
考慮兩個束流，從t=-無窮，若考慮這束粒子的動量確定，則根據不確定原理，粒子的位置不能確定，彌漫在整個空間，故不能用平面波來描述束流。故應看成高斯波包，是很多平面波的疊加，最后取一個波包寬度為0的極限，原則上可以得到正確的結論。
初態是兩個離得非常非常遠的電子和正電子的束流，因為離得很遠，故不考慮它們間的相互作用，故好像是自由粒子一樣。兩個束流勻速趨近，在t=0時，碰撞（兩個電子碰撞時間很短，大約是10的負十幾次方），發生了極其復雜的量子反應。若某種反應產生了一個粒子對，在t=無窮時，這兩個粒子分離了，又變成兩個類似獨立的粒子。
在對撞點有 $\mu$子探測器，是在對撞點探測 $\mu$子的能量和動量。我們不能在t=0時知道發生了什么，但是可以知道在t=無窮時在某個動量方向的幾率。
對in態：

在海森堡繪景，雖然不含時，但是包含了態矢量的所有時空歷史。
對out態：和前面類似。

S矩陣定義為：
（這是定義在海森堡繪景上，海森堡繪景是態不隨時間時間變化，而是算符變化）

這是海森堡定義的。

in態和out態是完整的哈密頓量的本征態：
（29）
${\beta }_{out}$指的是在t等於正無窮時，態看起來的漸進行為是 ${\beta }_{out}$。如果將時間往前追溯，其實碰撞后的末態非常復雜。故這個S矩陣是一個幾率振幅，根據量子力學的普遍物理詮釋知道，
，是末態正好是 ${\beta }_{out}$的幾率振幅。（量子力學新講有解釋）
引入 $H_0$（即沒有相互作用）的本征態：
（30）
顯然，（29）和（30）中的 $E_{\alpha }$都是對應相等的， $E_{\beta }$也是。
為了計算S矩陣，引入S算符：定義S算符：

這里S算符相當於一個時間演化算符。
S矩陣元的重要性質：

• S矩陣是幺正矩陣

  證明：
  完備性條件：
  
  求和是對所有可能的能量本征態求和。
  正交條件：
  有：
  
  又利用一次完備性條件，故
  =，這就證明了S矩陣元是幺正的；
  類似地，可以證明。

S矩陣元是幺正的物理意義：幾率守恆，老師沒說清楚，見量子力學新講。

• S矩陣體現了所有的對稱性（不管是內稟的還是時空還是其他對稱性）。以下內容大部分來自溫伯格書，應該不考

下面考慮龐加萊對稱性（其他對稱性可以類似考慮）：

其中=1
其中是龐加萊變換算符，a平移， $\mathrm{\Lambda }$是洛倫茲變換。U是線性幺正算符，故：

取 $\mathrm{\Lambda }=1$，即考慮時空平移算符，

設
故

這就是說，根據時空平移不變性，自動得到了時空平移不變性的要求：必須有4動量守恆，這顯然可以推廣到初態有任意個粒子，末態有任意個粒子。
S矩陣元可以寫成（這是定義出來的，原因見peskin104頁，高量也有證明）：

其中m稱為不變振幅。所有動力學都是在不變振幅中。其中 $\delta$是體現了時空平移不變性。
量子場論是提供了一種框架，保證S矩陣元是洛倫茲不變。
考慮反應：

S矩陣元：



其中W是小群；D（w）是小群的表示矩陣；；
是變換前的S矩陣元；
是洛倫茲變換后的S矩陣元，
S矩陣元具有洛倫茲不變性，並不是說它在洛倫茲變換下不變，而是在洛倫茲變換下，它會變成。

下面考慮內稟對稱性：

在U(1)變換下，S矩陣元的變化：
=
因為相位因子 $\theta$是任意的，要求相等的話，必須要求初態的電荷的荷等於末態的電荷的荷。故這就是導出了電荷守恆。
類似地可以驗證其他對稱性。

考慮時間反演對稱性：

注意時間反演是反線性算符。時間反演不變對S矩陣元的要求：

考慮空間反演對稱性：

其中:。

例：衰變：

可以確認內稟宇稱。

1.2節 散射截面和衰變率

令

高量的散射理論中有類似的公式

而第一項平庸，不關心，舍去：

故：

因為第一個delta函數已經強制 $p_{\alpha }=p_{\beta }$了，故第二個delta函數中是0.

嚴格地處理散射問題：必須采用波包的方法。peskin書就是這個方法。
溫伯格書是另一個方法：考慮將系統放在大的盒子中，

，故

以前：
現在引入盒子中的平面波態：


可以證明：
對於多個無相互作用粒子的態：

多粒子態：

故S矩陣元：


其中：
、

因為我們應考慮單位時間的躍遷幾率，故加入時間盒子：在時間間隔才允許打開相互作用。
類似地，有：

現在可以考慮躍遷幾率：

=（30）
因為探測器對末態粒子動量測量的分辨率有限，故是一個相空間的間隔中的躍遷幾率（31）
因為
故：
（32）
將（30）、（31）代入（32），得到躍遷概率表達式：
=
（33）

在有限空間和有限時間的處理后，S矩陣元的非平庸部分應是定義為：

則躍遷概率：

delta函數下標V和T表示的是在盒子中的. 這兩個delta函數的表達式前面已經求得了，
，故代入，得到：
=（34）

將（34）代入（33），得到躍遷幾率：

更關心躍遷速率（單位時間的躍遷幾率）：定義躍遷速率：
=（36）
其中稱為洛倫茲不變的 $N_{\beta }$體相空間，其定義為：
(37)

容易證明它確實是洛倫茲不變的。

以上公式是適用於初態、末態有任意多粒子，下面分情況討論：
a.初態有一個粒子，，這代表不穩定粒子的衰變。
根據（36）得到

用 $d\mathrm{\Gamma }$表示dW：
，初態只有一個粒子的躍遷速率 $d\mathrm{\Gamma }$稱為衰變寬度。
（38）中的和都是不依賴於參考系的，而是4動量的零分量，它不是洛倫茲不變的，它依賴於參照系。故衰變寬度也不是洛倫茲不變的，依賴於參照系。這體現了狹義相對論的鍾慢效應。穿過大氣層的 $\mu$子，其速率接近光速，故能量很大，根據（38）知道，其衰變速率很小，故其衰變壽命很長，故可以被地球上的探測器探測到。

總寬度（之前是微分寬度，現在對末態的像空間積分，得到總寬度）：

若在靜止系，將入態粒子能量換成不穩定粒子的靜質量即可，

不穩定粒子在單位時間的改變率：

它正比於不穩定粒子的數量和總寬度。其中n(t)是不穩定粒子的數量。
可以解得：，即不穩定粒子的數量隨時間是指數衰減的。

不穩定粒子的壽命：這是算平均值。

代入即可以證明最后的結果。

不穩定粒子的平均壽命和衰變寬度成反比。
b.初態兩個粒子，
根據（36）得到
（40）
怎么處理其中的V，因為V后面要取無窮大的極限。
在經典力學中，考慮一個剛性的實心球（靶），一束束流，可以認為這個截面中是發生了碰撞。

固定靶實驗：

dN:事例數：多少個粒子進入立體角 $d\mathrm{\Omega }$
通量：單位時間單位面積通過的入射的粒子數。
時間：相互作用的時間。
散射截面定義為：其量綱是面積

和高量中的定義不同，高量中還有 $d\mathrm{\Omega }$

散射截面中重要單位：。對強相互作用來說，散射截面差不多刻畫了一個強子的尺寸。因為強相互作用是短程相互作用。
因為散射截面的定義中是事例數/（時間*通量），所以知道，實驗中感興趣的是躍遷速率除以通量，實驗學家測量的是。
若入射粒子只有一個，box的體積為V，則其密度n=1/V. 固定靶實驗中，其中v1是入射粒子的速度。故通量= $\left(\frac{1}{V}\right)\left|\stackrel{\to }{v_1}\right|$
推廣到相對碰撞，得到通量（流強）：
（41）

散射截面=單位時間的躍遷幾率除以流強：
，代入（40）和（41）得到：
散射截面的表達式（背）：可以證明下面這個表達式是洛倫茲boost不變的。
（42）
這說明這種情況，求散射截面就是應求不變振幅。
而在peskin書中的表達式：

c.入射是3個粒子，，（這種情況是在天體物理和化學中有應用）高能物理不會考慮這種情況。

下面介紹運動學

對前面的b.入射兩個粒子的情況，兩體相空間：根據(37)知道：
（43）
這個積分的計算方法：
可以寫成

然后在（43）中先對p2積分，得，兩體相空間等於：

又因為
（44）
而質心系：，然后可以將（44）變成質心系，就能求出這個積分。老師說這個方法很多書都有，peskin書107。

后面就是計算不變振幅：

4.老式微擾論/Lippman-Schwinger 方程 不考

老式微擾論是對的，只是算起來比較復雜。可以幫助理解費曼微擾論。溫伯格的書講了這個老式微擾論。peskin書沒講。
散射理論：
散射態：海森堡繪景中有in態和out態，它們都是完整哈密頓量的本征態，用加號代表in態，減號代表out態：
定義連續態：。

LS方程：

推導見金老師高量講義

LS方程其實等價於薛定諤方程。
定義轉移矩陣T：（這個T不是前面所的S=1+iT中的T）

其實還應加上ie。以上兩個公式的推導見金老師講義“躍遷算符”

迭代得到：（50）
定義散射振幅：（其實散射振幅和T矩陣元之間的關系可以見周老師講義（4.53），可知散射振幅和T矩陣元其實只相差一個常系數，故可以“認為”散射振幅就是T矩陣元，而散射截面等於散射振幅的模平方）
（51）
這個公式是在前一個公式中加入完備性條件得到的。
若在以上公式中只保留第一項是一階波恩近似（確實，見周老師高量講義），保留二階，則....。

這個圖可以見庄鵬飛現代量子力學講義。
最后這個公式實際上有錯誤，還應該對右邊進行模平方才是正確的散射截面。這是最低級波恩近似下微分散射截面的表達式，其推導見周老師高量講義習題4.2，我寫的作業答案。或者見金老師高量講義。

下面開始應用（51）式：

考慮湯川理論：

最右邊少了一個 $\varphi$，應該為

，根據很前面的定理，因為相互作用拉氏量中沒有導數，故

考慮電子和 $\mu$子的散射（通過軸子進行散射）：

（51）中的領頭階矩陣元：

其中，i和f是無相互作用的一些粒子的態。
這個矩陣元為零，因為V的表達式中都有 $\varphi$，而 $\varphi$中有 $a和a^{†}$（它們分別產生和消滅軸子），因為i和f態的表達式中都沒有軸子，故再經過計算知道領頭階矩陣元為0.即

具體計算推導過程省略。

（51）推導過程中加入的中間態為
中間態有3個粒子， $\varphi$是軸子。
上面費曼圖的物理意義：電子和 $\mu$子開始接近，在某個時刻電子發射了一個軸子，動量為 $p_{\varphi }$，過了一段時間，軸子被 $\mu$子吸收了，且 $\mu$
子散射了。 $p_{\varphi }$是在殼的粒子。圖中時間較早的頂角，相互作用更早，因為這種原因，老式微擾論也稱為編時微擾論。
下面計算（51）的第二項，
==
其中；=；

利用以前在自由場論講過的
、、，經過復雜的推導，得到：

老師說在老式微擾論中，算符都是在薛定諤繪景,t=0。

至此，（51）的第二項就求出來了。

將軸子的單位算符加入（51），得到：T矩陣元：
（60）
E是t等於正無窮或t等於負無窮時的能量，，根據費曼圖，E等於in態的兩個粒子的能量，也等於out態的兩個粒子的能量。而中間態能量：，從此可以知道，對老式微擾論，在每個頂角，三動量守恆，但中間態能量並不等於初和末態的能量，即能量不守恆（不過初末態能量守恆），這體現了能量時間不確定關系，若中間態能量和初末態能量相差很多，這它出現的時間很短；
故（60）變為：

還可以繼續算出這個積分。沒時間。

但是注意，這里根據的費曼圖只是所有可能的費曼圖中的一種，因為時序可以不同。

這是 $\mu$子先輻射一個軸子，然后電子再吸收這個軸子。可以求出這種情況的T矩陣元：

故以上兩種情況的總的T矩陣元等於：(62)
其中。

注意在以上兩種情況中，頂角分別有不同的動量守恆。

(62)中的是費曼傳播子。故說明以上兩種情況加起來等於費曼協變微擾論的貢獻。
根據散射振幅的定義知道，不變振幅：

怎么推導的？不清楚，算了，以后再說，見課。寫不清楚

老式微擾論圖的數目很多，若費曼協變微擾論中的費曼圖頂角越多，則對應的老式微擾論圖特別多，復雜。但這兩種微擾論都是等價的。一個有n個頂角的費曼圖對應n！個老式微擾論圖。

在量子力學中，波恩近似，T矩陣大致：

其中勢V都是瞬時相互作用。
而在QFT中，兩個粒子是通過交換軸子來散射。在費曼協變微擾論中，這種內線的粒子稱為虛粒子，因為它是離殼的，4動量的平方不等於m的平方，即，故稱為虛粒子。而在老式微擾論中，內線的粒子是在殼的，這說明不存在超距作用，這就是通過老式微擾論得到了不存在超距作用這個重要的物理事實。當理解一些物理時，可以看看老式微擾論，也許可以減少混淆。
費曼微擾論之所以是協變的（即洛倫茲不變的）是因為費曼傳播子是洛倫茲不變的。計算來說，這種微擾論更好。