相互作用场论

第章

第章
1.1节
1.回顾一下相互作用：
1）比如可以在KG场论中引入 $\varphi$3理论。
2） $\varphi$4理论：
3）汤川理论：狄拉克粒子和一个自旋为零的粒子耦合
4）QED
a.QED拉氏量：
b.QED拉氏量（5）是规范不变的
c.EL方程
5）标量QED
6）杨米尔斯场论
2.哈密顿量
3.相互作用QFT的困难
4.粒子的衰变宽度、散射截面
1）S矩阵：
下面考虑庞加莱对称性（其他对称性可以类似考虑）：
下面考虑内禀对称性：
考虑时间反演对称性：
考虑空间反演对称性：
1.2节 散射截面和衰变率
下面介绍运动学
4.老式微扰论/Lippman-Schwinger 方程 不考
下面开始应用（51）式：

TOC

1.1节

：最多两阶导数

其中H_{0}=


以上只是无相互作用场论。

1.回顾一下相互作用：

1）比如可以在KG场论中引入 $\varphi$3理论。

EL方程：

2） $\varphi$4理论：

这些方程都是非线性方程。

3）汤川理论：狄拉克粒子和一个自旋为零的粒子耦合

其实相互作用拉氏量也可以写成：
这一类都称为汤川理论。

4）QED

a.QED拉氏量：

量子化电磁场时，
类比经典情况的拉氏量，这是说 $A_{\mu }$耦合一个外源。规范不变性要求 $j^{\mu }$必须是一个守恒流。
知道：QED拉氏量中
，根据诺特定理知道， $j^{\mu }$是守恒流，即。
这一项就是将狄拉克场和电磁场耦合起来。

QED拉氏量等于（背）：

引入协变导数：
其中e：电子电荷，在peskin书中，电子电荷是负的，
则QED拉氏量等于：（背）
（5）

b.QED拉氏量（5）是规范不变的

U(1)规范变换（包含（6）和（7）两个公式）：（6），其中 $\alpha$是依赖于时空的任意一个函数，因为依赖于x，故称为是一个定域的对称性。
（7）（量子化电磁场一节讲了）（但是学生友好量子场论书中讲的库伦规范不一样）
根据（6）、（7）得到：在U（1）规范变换下， $D_{\mu }\psi$的变换：
（8）

证明：，代入（6）、（7）得到：=。得证。

根据（6、7、8）可以验证QED拉氏量（5）是规范不变的。

c.EL方程

5）标量QED

前面讲的是旋量QED，旋量QED是考虑一个自旋1/2的电子和光子相互作用，但原则上还可以考虑带电的零自旋粒子，比如 $\pi$介子，和光子相互作用，这称为标量QED。
复KG场论：

其中 $\varphi$是一个复标量场。
将其偏导数变成协变导数即变成相互作用的理论：

=
在诺特定理笔记中讲了 $j^{\mu }$就是复的KG场论中U（1）的诺特流（守恒流），其零分量对全空间积分就等于电荷。
标量QED比旋量QED更复杂在于：

6）杨米尔斯场论

它是旋量QED的简单推广，

没记笔记



QCD的相互作用项实际上很复杂。
无质量粒子有：
零自旋的无质量粒子：这是由Goldenstone定理保证的。Goldenstone定理：一个理论如果有连续对称性的自发破缺，则它一定会出来Goldenstone玻色子，这个Goldenstone玻色子就是自旋为零的玻色子。这是非常有趣神奇的理论。
自旋为1/2的无质量粒子：


有一个定理：可重整理论所含有的最高阶的算符是量纲为4.
故不能写 ${\varphi }^5$等。
上面说的 ${\varphi }^4$、QED等理论都是可重整的。标准模型也是可重整的。
不可重整的含义：如果理论中含有高量纲算符，这种理论，不能将发散吸收到系数中，这种理论被认为没有预言能力。但后面发现，不可重整理论有一个有效的能标，超过这个能标，这个理论就失效了，故现在认为只要低于这个能标，这个不可重整化理论也是有预言能力的，比如手征微扰论，描述低能强相互作用。
标准模型的有效理论：是标准模型拉氏量加上高量纲算符。

这门课是关注可重整理论。

2.哈密顿量

一般来说，若相互作用项不带导数，会发现相互作用的哈密顿量密度=-相互作用拉氏量密度：
（13）
例如QED、 ${\varphi }^4$理论中相互作用拉氏量中都没有导数耦合，故这两种情况，（13）式成立
若相互作用带导数，会有点麻烦，共轭动量会和自由场的不太一样
哈密顿量： $H=H_0+V$
因为拉氏量是定域的，故一般哈密顿量也是定域的，但一个例外是考虑QED， $H_{QED}=H_0+V$
其中 $H_0=H_{Dirac}+H_{Max}=$


其中V的第一项是瞬时的超距的库伦相互作用，这一项不是局域的。我们希望V能写成这种形式：，H_int是一个只有局域的场的乘积。故因为第一项不是局域的，所以你可能会有点担心，但其实问题不大，因为费曼传播子在库伦规范下，第一项库伦项会被去掉，而V中的第二项还是局域的。

3.相互作用QFT的困难

考虑 $\varphi 3$理论（以前说过这个理论不好，它没有稳定的基态），其共轭动量：

根据（13）知道哈密顿量密度：
等时量子化条件：

在t=0，薛定谔绘景，平面波展开：
（16）
为了满足正则量子化条件，会发现：
，这和自由场论中的一样。
复杂性出现在相互作用：
自由哈密顿量：

相互作用项：（L=T-V，H=T+V，故下面的V确实是这个形式）
，代入(16)，得到：V=
（19）
其中：

从V中可以看出只含义一个动量守恒的 $\delta$函数。
可以证明:

这个的后果就是：相互作用理论的真空往往不同于自由理论的真空

湮灭算符是湮灭自由理论的真空，不一定湮灭相互作用理论的真空：、。

因为含相互作用项的哈密顿量含有非线性项，故很难将哈密顿量对角化。故将哈密顿量的本征态、能级求出来是一个非常困难的事情。

另外在海森堡绘景下，自由场论时，

根据对易关系，以前算过，，故
。
但若在有相互作用的情况，

类似前面自由场的过程，得到：
（26）
根据（19）得到：

故根据（26）得到：

这是非线性方程，很难解，故在海森堡绘景下，的解析表达式很复杂，解不出。海森堡绘景下的场算符也很复杂解不出。

但有数值解法，在真实的真空下的海森堡绘景的算符构造的两点关联函数：
路径积分：
=，进行wick转动，就是将时间延拓到虚时间，

会发现， $\varphi$取任何实数时，指数因子是压低的， $\varphi$是连续的，无法算，故wilson用时空离散化，这样泛函积分就能积出来关联函数。这就是格点量子场论。蒙特卡洛方法。取连续极限：a趋于0的极限。这是非微扰的方法。
另一种微扰论方法：
，
若相互作用部分远远小于自由部分，微扰论。若中，则可以进行小量展开，微扰论。
但特别注意微扰论有适用范围，必须论证耦合常数很小。
比如：

QED就是用这种方法，而且有效。
而对于强相互作用QCD，在能量低时，QCD的耦合常数是很大的，不能用微扰论，比如

这门课是用费曼图来微扰论计算。

4.粒子的衰变宽度、散射截面

粒子的衰变宽度、散射截面这两个是可观测量，与这两个可观测量项联系的是S矩阵。

1）S矩阵：

例如：
考虑两个束流，从t=-无穷，若考虑这束粒子的动量确定，则根据不确定原理，粒子的位置不能确定，弥漫在整个空间，故不能用平面波来描述束流。故应看成高斯波包，是很多平面波的叠加，最后取一个波包宽度为0的极限，原则上可以得到正确的结论。
初态是两个离得非常非常远的电子和正电子的束流，因为离得很远，故不考虑它们间的相互作用，故好像是自由粒子一样。两个束流匀速趋近，在t=0时，碰撞（两个电子碰撞时间很短，大约是10的负十几次方），发生了极其复杂的量子反应。若某种反应产生了一个粒子对，在t=无穷时，这两个粒子分离了，又变成两个类似独立的粒子。
在对撞点有 $\mu$子探测器，是在对撞点探测 $\mu$子的能量和动量。我们不能在t=0时知道发生了什么，但是可以知道在t=无穷时在某个动量方向的几率。
对in态：

在海森堡绘景，虽然不含时，但是包含了态矢量的所有时空历史。
对out态：和前面类似。

S矩阵定义为：
（这是定义在海森堡绘景上，海森堡绘景是态不随时间时间变化，而是算符变化）

这是海森堡定义的。

in态和out态是完整的哈密顿量的本征态：
（29）
${\beta }_{out}$指的是在t等于正无穷时，态看起来的渐进行为是 ${\beta }_{out}$。如果将时间往前追溯，其实碰撞后的末态非常复杂。故这个S矩阵是一个几率振幅，根据量子力学的普遍物理诠释知道，
，是末态正好是 ${\beta }_{out}$的几率振幅。（量子力学新讲有解释）
引入 $H_0$（即没有相互作用）的本征态：
（30）
显然，（29）和（30）中的 $E_{\alpha }$都是对应相等的， $E_{\beta }$也是。
为了计算S矩阵，引入S算符：定义S算符：

这里S算符相当于一个时间演化算符。
S矩阵元的重要性质：

• S矩阵是幺正矩阵

  证明：
  完备性条件：
  
  求和是对所有可能的能量本征态求和。
  正交条件：
  有：
  
  又利用一次完备性条件，故
  =，这就证明了S矩阵元是幺正的；
  类似地，可以证明。

S矩阵元是幺正的物理意义：几率守恒，老师没说清楚，见量子力学新讲。

• S矩阵体现了所有的对称性（不管是内禀的还是时空还是其他对称性）。以下内容大部分来自温伯格书，应该不考

下面考虑庞加莱对称性（其他对称性可以类似考虑）：

其中=1
其中是庞加莱变换算符，a平移， $\mathrm{\Lambda }$是洛伦兹变换。U是线性幺正算符，故：

取 $\mathrm{\Lambda }=1$，即考虑时空平移算符，

设
故

这就是说，根据时空平移不变性，自动得到了时空平移不变性的要求：必须有4动量守恒，这显然可以推广到初态有任意个粒子，末态有任意个粒子。
S矩阵元可以写成（这是定义出来的，原因见peskin104页，高量也有证明）：

其中m称为不变振幅。所有动力学都是在不变振幅中。其中 $\delta$是体现了时空平移不变性。
量子场论是提供了一种框架，保证S矩阵元是洛伦兹不变。
考虑反应：

S矩阵元：



其中W是小群；D（w）是小群的表示矩阵；；
是变换前的S矩阵元；
是洛伦兹变换后的S矩阵元，
S矩阵元具有洛伦兹不变性，并不是说它在洛伦兹变换下不变，而是在洛伦兹变换下，它会变成。

下面考虑内禀对称性：

在U(1)变换下，S矩阵元的变化：
=
因为相位因子 $\theta$是任意的，要求相等的话，必须要求初态的电荷的荷等于末态的电荷的荷。故这就是导出了电荷守恒。
类似地可以验证其他对称性。

考虑时间反演对称性：

注意时间反演是反线性算符。时间反演不变对S矩阵元的要求：

考虑空间反演对称性：

其中:。

例：衰变：

可以确认内禀宇称。

1.2节 散射截面和衰变率

令

高量的散射理论中有类似的公式

而第一项平庸，不关心，舍去：

故：

因为第一个delta函数已经强制 $p_{\alpha }=p_{\beta }$了，故第二个delta函数中是0.

严格地处理散射问题：必须采用波包的方法。peskin书就是这个方法。
温伯格书是另一个方法：考虑将系统放在大的盒子中，

，故

以前：
现在引入盒子中的平面波态：


可以证明：
对于多个无相互作用粒子的态：

多粒子态：

故S矩阵元：


其中：
、

因为我们应考虑单位时间的跃迁几率，故加入时间盒子：在时间间隔才允许打开相互作用。
类似地，有：

现在可以考虑跃迁几率：

=（30）
因为探测器对末态粒子动量测量的分辨率有限，故是一个相空间的间隔中的跃迁几率（31）
因为
故：
（32）
将（30）、（31）代入（32），得到跃迁概率表达式：
=
（33）

在有限空间和有限时间的处理后，S矩阵元的非平庸部分应是定义为：

则跃迁概率：

delta函数下标V和T表示的是在盒子中的. 这两个delta函数的表达式前面已经求得了，
，故代入，得到：
=（34）

将（34）代入（33），得到跃迁几率：

更关心跃迁速率（单位时间的跃迁几率）：定义跃迁速率：
=（36）
其中称为洛伦兹不变的 $N_{\beta }$体相空间，其定义为：
(37)

容易证明它确实是洛伦兹不变的。

以上公式是适用于初态、末态有任意多粒子，下面分情况讨论：
a.初态有一个粒子，，这代表不稳定粒子的衰变。
根据（36）得到

用 $d\mathrm{\Gamma }$表示dW：
，初态只有一个粒子的跃迁速率 $d\mathrm{\Gamma }$称为衰变宽度。
（38）中的和都是不依赖于参考系的，而是4动量的零分量，它不是洛伦兹不变的，它依赖于参照系。故衰变宽度也不是洛伦兹不变的，依赖于参照系。这体现了狭义相对论的钟慢效应。穿过大气层的 $\mu$子，其速率接近光速，故能量很大，根据（38）知道，其衰变速率很小，故其衰变寿命很长，故可以被地球上的探测器探测到。

总宽度（之前是微分宽度，现在对末态的像空间积分，得到总宽度）：

若在静止系，将入态粒子能量换成不稳定粒子的静质量即可，

不稳定粒子在单位时间的改变率：

它正比于不稳定粒子的数量和总宽度。其中n(t)是不稳定粒子的数量。
可以解得：，即不稳定粒子的数量随时间是指数衰减的。

不稳定粒子的寿命：这是算平均值。

代入即可以证明最后的结果。

不稳定粒子的平均寿命和衰变宽度成反比。
b.初态两个粒子，
根据（36）得到
（40）
怎么处理其中的V，因为V后面要取无穷大的极限。
在经典力学中，考虑一个刚性的实心球（靶），一束束流，可以认为这个截面中是发生了碰撞。

固定靶实验：

dN:事例数：多少个粒子进入立体角 $d\mathrm{\Omega }$
通量：单位时间单位面积通过的入射的粒子数。
时间：相互作用的时间。
散射截面定义为：其量纲是面积

和高量中的定义不同，高量中还有 $d\mathrm{\Omega }$

散射截面中重要单位：。对强相互作用来说，散射截面差不多刻画了一个强子的尺寸。因为强相互作用是短程相互作用。
因为散射截面的定义中是事例数/（时间*通量），所以知道，实验中感兴趣的是跃迁速率除以通量，实验学家测量的是。
若入射粒子只有一个，box的体积为V，则其密度n=1/V. 固定靶实验中，其中v1是入射粒子的速度。故通量= $\left(\frac{1}{V}\right)\left|\stackrel{\to }{v_1}\right|$
推广到相对碰撞，得到通量（流强）：
（41）

散射截面=单位时间的跃迁几率除以流强：
，代入（40）和（41）得到：
散射截面的表达式（背）：可以证明下面这个表达式是洛伦兹boost不变的。
（42）
这说明这种情况，求散射截面就是应求不变振幅。
而在peskin书中的表达式：

c.入射是3个粒子，，（这种情况是在天体物理和化学中有应用）高能物理不会考虑这种情况。

下面介绍运动学

对前面的b.入射两个粒子的情况，两体相空间：根据(37)知道：
（43）
这个积分的计算方法：
可以写成

然后在（43）中先对p2积分，得，两体相空间等于：

又因为
（44）
而质心系：，然后可以将（44）变成质心系，就能求出这个积分。老师说这个方法很多书都有，peskin书107。

后面就是计算不变振幅：

4.老式微扰论/Lippman-Schwinger 方程 不考

老式微扰论是对的，只是算起来比较复杂。可以帮助理解费曼微扰论。温伯格的书讲了这个老式微扰论。peskin书没讲。
散射理论：
散射态：海森堡绘景中有in态和out态，它们都是完整哈密顿量的本征态，用加号代表in态，减号代表out态：
定义连续态：。

LS方程：

推导见金老师高量讲义

LS方程其实等价于薛定谔方程。
定义转移矩阵T：（这个T不是前面所的S=1+iT中的T）

其实还应加上ie。以上两个公式的推导见金老师讲义“跃迁算符”

迭代得到：（50）
定义散射振幅：（其实散射振幅和T矩阵元之间的关系可以见周老师讲义（4.53），可知散射振幅和T矩阵元其实只相差一个常系数，故可以“认为”散射振幅就是T矩阵元，而散射截面等于散射振幅的模平方）
（51）
这个公式是在前一个公式中加入完备性条件得到的。
若在以上公式中只保留第一项是一阶波恩近似（确实，见周老师高量讲义），保留二阶，则....。

这个图可以见庄鹏飞现代量子力学讲义。
最后这个公式实际上有错误，还应该对右边进行模平方才是正确的散射截面。这是最低级波恩近似下微分散射截面的表达式，其推导见周老师高量讲义习题4.2，我写的作业答案。或者见金老师高量讲义。

下面开始应用（51）式：

考虑汤川理论：

最右边少了一个 $\varphi$，应该为

，根据很前面的定理，因为相互作用拉氏量中没有导数，故

考虑电子和 $\mu$子的散射（通过轴子进行散射）：

（51）中的领头阶矩阵元：

其中，i和f是无相互作用的一些粒子的态。
这个矩阵元为零，因为V的表达式中都有 $\varphi$，而 $\varphi$中有 $a和a^{†}$（它们分别产生和消灭轴子），因为i和f态的表达式中都没有轴子，故再经过计算知道领头阶矩阵元为0.即

具体计算推导过程省略。

（51）推导过程中加入的中间态为
中间态有3个粒子， $\varphi$是轴子。
上面费曼图的物理意义：电子和 $\mu$子开始接近，在某个时刻电子发射了一个轴子，动量为 $p_{\varphi }$，过了一段时间，轴子被 $\mu$子吸收了，且 $\mu$
子散射了。 $p_{\varphi }$是在壳的粒子。图中时间较早的顶角，相互作用更早，因为这种原因，老式微扰论也称为编时微扰论。
下面计算（51）的第二项，
==
其中；=；

利用以前在自由场论讲过的
、、，经过复杂的推导，得到：

老师说在老式微扰论中，算符都是在薛定谔绘景,t=0。

至此，（51）的第二项就求出来了。

将轴子的单位算符加入（51），得到：T矩阵元：
（60）
E是t等于正无穷或t等于负无穷时的能量，，根据费曼图，E等于in态的两个粒子的能量，也等于out态的两个粒子的能量。而中间态能量：，从此可以知道，对老式微扰论，在每个顶角，三动量守恒，但中间态能量并不等于初和末态的能量，即能量不守恒（不过初末态能量守恒），这体现了能量时间不确定关系，若中间态能量和初末态能量相差很多，这它出现的时间很短；
故（60）变为：

还可以继续算出这个积分。没时间。

但是注意，这里根据的费曼图只是所有可能的费曼图中的一种，因为时序可以不同。

这是 $\mu$子先辐射一个轴子，然后电子再吸收这个轴子。可以求出这种情况的T矩阵元：

故以上两种情况的总的T矩阵元等于：(62)
其中。

注意在以上两种情况中，顶角分别有不同的动量守恒。

(62)中的是费曼传播子。故说明以上两种情况加起来等于费曼协变微扰论的贡献。
根据散射振幅的定义知道，不变振幅：

怎么推导的？不清楚，算了，以后再说，见课。写不清楚

老式微扰论图的数目很多，若费曼协变微扰论中的费曼图顶角越多，则对应的老式微扰论图特别多，复杂。但这两种微扰论都是等价的。一个有n个顶角的费曼图对应n！个老式微扰论图。

在量子力学中，波恩近似，T矩阵大致：

其中势V都是瞬时相互作用。
而在QFT中，两个粒子是通过交换轴子来散射。在费曼协变微扰论中，这种内线的粒子称为虚粒子，因为它是离壳的，4动量的平方不等于m的平方，即，故称为虚粒子。而在老式微扰论中，内线的粒子是在壳的，这说明不存在超距作用，这就是通过老式微扰论得到了不存在超距作用这个重要的物理事实。当理解一些物理时，可以看看老式微扰论，也许可以减少混淆。
费曼微扰论之所以是协变的（即洛伦兹不变的）是因为费曼传播子是洛伦兹不变的。计算来说，这种微扰论更好。