僅考慮等方差情形:
估計系數\(\hat{\beta}_j\)的標准誤差(即Python輸出結果中的std err)\(s(\hat{\beta}_j)=\hat{\sigma}\sqrt{c_{jj}}\)
\(\hat{\sigma}^2=\frac{SSE}{n-p}=\frac{總平方和-回歸平方和}{n-p}\)
\((X^TX)^{-1}=\{c_{ij}\}_{p\times p}\),\(X_{n\times p}\),\(rk(X)=rk(X^T)=r,r<p\),
此時矩陣\(X\)不是列滿秩,根據\(rk(AB)\le min\{rk(A),rk(B)\}\),得到\(rk(X^TX)\le min\{rk(X^T),rk(X)\}=rk(X)=r<p\),而\(X^TX\)是\(p\times p\)維度的
因此\(X^TX\)無法求逆,即無法求出\(c_{jj}\),因此輸出std err為nan
Python結果中的z、P>|z|、[0.025 0.0975]的計算均與std err有關,因此也相應輸出為nan