標准差
標准差是數值分散的測量。
標准差的符號是 σ （希臘語字母 西格馬，英語 sigma）
公式很簡單：方差的平方根。那么…… "方差是什么？"
方差
方差的定義是：
離平均的平方距離的平均。
按照以下的步驟來計算方差：
例子
你和朋友們量度了狗狗的身高（毫米）：
身高（到肩膀）是：600mm、470mm、170mm、430mm 和 300mm。
求平均、方差和標准差。
第一步是求平均：
答案：
平均 = 600 + 470 + 170 + 430 + 3005 = 19705 = 394
平均身高是 394 mm。我們畫在圖上：
接着求每條狗和平均的距離：
要計算方差，求每個距離的平方，然后求平均：
方差是 21,704
標准差是方差的平方根：
| 標准差 | |
| σ | = √21,704 |
| = 147.32…… | |
| = 147 （到最近的毫米） | |
標准差很有用。 我們現在可以顯示哪個高度是在離平均一個標准差（147mm）之內：
標准差是一個甄別數值是正常與否的"標准"。
羅德維拉犬是高的狗，臘腸犬是矮的狗……但不要告訴它們！
可是……如果數據是樣本數據
以上例子的數據是對象總體的數據（我們的對象就是那 5條狗）。
但如果數據是個樣本（只是對象總體的一部分），計算便會有點改變！
如果你有 "N"個數值，而這些數值是：
- 對象總體：在求方差時除以 N（如上）
- 樣本：在求方差時除以 N-1
其他的計算步驟不變，包括計算平均在內。
例子：如果我們的 5條狗只是更多狗里的的一個樣本，我們便要除以 4，而不是除以 5：
想象這是對樣本數據的 "修補"。
公式
這是在 標准差公式 網頁里的兩個公式（你可以去看看來了解更多）：
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![[(1/N) 乘以 (xi - mu)^2 從 i=1 到 N 的總和] 的平方根](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuc2h1eHVlbGUuY29tL2RhdGEvaW1hZ2VzL3N0YW5kYXJkLWRldmlhdGlvbi1mb3JtdWxhLmdpZg==.png) |
| "樣本標准差"： | ![[(1/(N-1)) 乘以 (xi - xbar)^2 從 i=1 to N 的總和] 的平方根](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuc2h1eHVlbGUuY29tL2RhdGEvaW1hZ2VzL3N0YW5kYXJkLWRldmlhdGlvbi1zYW1wbGUuZ2lm.png) |
乍看很復雜，但其實只是在計算樣本方差時，有個重要的改變：
以除以 N-1 來代替除以 N。
*腳注：為什么要求差的平方？
如果我們只把和平均的差加起來……負值和正值便會互相抵消：
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4 + 4 − 4 − 44 = 0 |
這不行。我們可以用絕對值嗎？
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|4| + |4| + |−4| + |−4|4 = 4 + 4 + 4 + 44 = 4 |
不錯（這叫 平均差），但看看這個例子：
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|7| + |1| + |−6| + |−2|4 = 7 + 1 + 6 + 24 = 4 |
糟了！數據比較分散，但結果還是 4。
我們來試試求每個差的平方（最后才取平方根）：
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√(42 + 42 + 42 + 424) = √(644) = 4 |
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√(72 + 12 + 62 + 224) = √(904) = 4.74... |
好極了！當數據比較分散時，標准差也比較大……正是我們想要的。
其實這個方法和 兩點之間的距離 都是基於同一個原理，不過應用不同而已。
同時，用代數來處理平方和平方根比處理絕對值要容易很多，標准差也比較容易被應用在其他數學領域。