用構造無風險組合的方式推導定價 PDE——BS、單因子和 Heston 模型
推導定價金融工具的 PDE 是個常考科目，本文記述了一個直觀但不嚴謹的通用方法——構造無風險組合，並展示了 BS 模型、Heston 模型和零息債券單因子模型三個案例。
BS 模型
從最簡單的童話故事開始。
股價 \(S_t\) 的 SDE 如下：
\[dS_t = (\mu - q)S_t dt + \sigma S_t dB_t \]
用 \(S_t\) 和歐式期權 \(E(t,S_t)\) 構造一個組合 \(V\)，連續動態調整 \(S\) 和 \(E\) 的比例使得 \(V\) 是一個無風險組合。由於期權和股票都只在一個隨機變量 \(B_t\) 上有敞口，並且股票是可直接交易的對象，因此無需引入其他的交易標的就可以實現完全對重，進而構造出無風險組合。這一點和后面的兩個例子不同。
\(w_1\) 和 \(w_2\) 分別是 \(S\) 和 \(E\) 的市值占比，那么 \(V\) 的“瞬時”收益率可以表示為：
\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE}{E} +w_1 q dt \tag{1} \]
由 Ito 公式可知，
\[\begin{align*} & w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE}{E} \\ & = w_1 \left((\mu-q)dt + \sigma dB_t \right) + w_2 \frac{1}{E}\left( \frac{\partial E}{\partial t}dt + \frac{\partial E}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}d[S_t] \right)\\ & = w_1 \left((\mu-q)dt + \sigma dB_t \right) + w_2 \frac{1}{E}\left( \frac{\partial E}{\partial t}dt + \frac{\partial E}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sigma S dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\sigma^2S^2 dt \right) \end{align*} \]
\(V\) 是無風險組合的話
\[\frac{dV}{V} = r dt \tag{2} \]
為了消除 \(V\) 的隨機性，也就是說消除掉 \(dB_t\)，\(w_1\) 和 \(w_2\) 要滿足一個方程組：
\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 &= 1\\ w_1 + \frac{S}{E} \frac{\partial E}{\partial B} w_2 &= 0 \end{matrix}\right. \]
方程組的解是
\[w_1 = \frac{-\frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}{1 - \frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}\\ w_2 = \frac{1}{1 - \frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}} \]
丟進（1），同時注意到（2），稍加整理將得到 PDE（略過邊界條件）：
\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\sigma^2S^2 + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) - Er=0 \]
零息債券的單因子模型
債券的語境下就是另一個故事了。
短期利率過程 \(r_t\) 的 SDE 如下：
\[dr_t = \mu(r,t) dt + \sigma(r,t) dB_t \]
和期權的情況不同，由於短期利率不是一個可以直接交易的對象，因此，要構造無風險組合可以考慮用兩個期限不同的債券對沖掉彼此的隨機性敞口。
\(w_1\) 和 \(w_2\) 分別是 \(P(t, T_1)\) 和 \(P(t, T_2)\) 的市值占比（\(T_2 \neq T_1\)），那么 \(V\) 的“瞬時”收益率可以表示為：
\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dP_1}{P_1} + w_2 \frac{dP_2}{P_2} \tag{3} \]
由 Ito 公式可知，
\[\begin{align*} & w_1 \frac{dP_1}{P_1} + w_2 \frac{dP_2}{P_2} \\ & = w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t}dt + \frac{\partial P_1}{\partial r}dr_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}d[r_t] \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t}dt + \frac{\partial P_2}{\partial r}dr_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}d[r_t] \right)\\ & = w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t}dt + \frac{\partial P_1}{\partial r}(\mu dt + \sigma dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 dt \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t}dt + \frac{\partial P_2}{\partial r}(\mu dt + \sigma dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 dt \right) \end{align*} \]
為了消除 \(V\) 的隨機性，\(w_1\) 和 \(w_2\) 要滿足一個方程組，
\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 &= 1\\ \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r} w_1 + \frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} w_2 &= 0 \end{matrix}\right. \]
方程組的解是
\[w_1 = \frac{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r}}{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} - \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}\\ w_2 = \frac{-\frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} - \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}} \]
丟進（3），同時注意到（2）將得到
\[w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 \right) = r_t \]
稍加整理得到
\[\frac{\frac{\partial P_1}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 - rP_1}{\frac{\partial P_1}{\partial r}} = \frac{\frac{\partial P_2}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 - rP_2}{\frac{\partial P_2}{\partial r}} \]
也就是說
\[\frac{\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 - rP}{\frac{\partial P}{\partial r}} \tag{4} \]
與債券的期限無關，可以記為一個 \(t\) 和 \(r\) 的函數 \(\Lambda(t,r)\)，進而得到 PDE（略過邊界條件）：
\[\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 - Pr - \frac{\partial P}{\partial r}\Lambda = 0 \]
\(\Lambda\) 到底是什么？
還是 Ito 公式，
\[\frac{dP}{P} = \frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial r}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2) dt + \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r}\sigma dB_t \]
可以看到，債券瞬時回報分解成為了確定性和隨機性的兩部分，套用業績歸因的 Sharp 比的概念，如果把債券的 Sharp 比（並不是真正意義上的 Sharp 比，而是一種類比）表示為：
\[\lambda(t,r) = \frac{\frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial r}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2) - r}{\frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r}\sigma} \]
它可以看做是在度量短期利率敞口的風險溢價水平。對比一下（4）就可以得到
\[\Lambda = \sigma \lambda - \mu \]
最終，零息債券的 PDE 寫成：
\[\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 + \frac{\partial P}{\partial r}(\mu - \sigma \lambda) - Pr = 0 \]
Heston 模型
Heston 模型的故事又深邃了一點，其實是前述兩個案例的綜合。
\[dS_t = (\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t\\ dv_t = \kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t\\ [dB^1_t, dB^2_t] = \rho dt \]
在 Heston 模型中歐式期權 \(E(t,S_t,v_t)\) 對 \(B^1\) 和 \(B^2\) 都有敞口，但是 \(S_t\) 只對 \(B^1\) 有直接的敞口，因此單純 \(E\) 和 \(S\) 的組合無法完全對沖掉隨機性敞口。此外，和短期利率相似，隨機波動率也是無法直接交易的，可以考慮引入另一個不同期限的期權來對沖掉對 \(B^2\) 的敞口。
\(w_1\)、\(w_2\) 和 \(w_3\) 分別是 \(S\)、\(E_1(T_1)\) 和 \(E_2(T_2)\) 的市值占比（\(T_2 \neq T_1\)），那么
\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE_1}{E_1} + w_3 \frac{dE_2}{E_2} + w_1 q dt \tag{5} \]
由 Ito 公式可知，
\[\begin{align*} & w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE_1}{E_1} + w_3 \frac{dE_2}{E_2} \\ & = w_1 \left( (\mu - q) dt + \sqrt{v_t} dB^1_t \right)\\ & + w_2 \frac{1}{E_1}\left( \frac{\partial E_1}{\partial t}dt + \frac{\partial E_1}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial S^2}d[S_t] + \frac{\partial E_1}{\partial v}dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial v^2}d[v_t] + \frac{\partial^2 E_1}{\partial S \partial v}d[S_t, v_t] \right)\\ & + w_3 \frac{1}{E_2}\left( \frac{\partial E_2}{\partial t}dt + \frac{\partial E_2}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial S^2}d[S_t] + \frac{\partial E_2}{\partial v}dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial v^2}d[v_t] + \frac{\partial^2 E_2}{\partial S \partial v}d[S_t, v_t] \right)\\ & = w_1 \left( (\mu - q) dt + \sqrt{v_t} dB^1_t \right)\\ & + w_2 \frac{1}{E_1}\left( \frac{\partial E_1}{\partial t}dt + \frac{\partial E_1}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial S^2}vdt + \frac{\partial E_1}{\partial v}(\kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial v^2}\sigma^2vdt + \frac{\partial^2 E_1}{\partial S \partial v}\rho \sigma Sv dt \right)\\ & + w_3 \frac{1}{E_2}\left( \frac{\partial E_2}{\partial t}dt + \frac{\partial E_2}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial S^2}vdt + \frac{\partial E_2}{\partial v}(\kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial v^2}\sigma^2vdt + \frac{\partial^2 E_2}{\partial S \partial v}\rho \sigma Sv dt \right)\\ & = w_1(x_1dt + y_1dB^1_t) \\ & + w_2(x_2dt + y_2dB^1_t + z_2dB^2_t) \\ & + w_3(x_3dt + y_3dB^1_t + z_3dB^2_t) \end{align*} \]
為了消除 \(V\) 的隨機性，\(w_1\)、\(w_2\) 和 \(w_3\) 要滿足一個方程組，
\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 + w_3 &= 1\\ y_1w_1 + y_2w_2 + y_3w_3 &= 0\\ z_2w_2 + z_3w_3 &= 0\\ \end{matrix}\right. \]
方程組的解是
\[w_1 = \frac{z_2y_3 - z_3y_2}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\\ w_2 = \frac{y_1z_3}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\\ w_3 = \frac{-y_1z_2}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)} \]
丟進（5），同時注意到（2），那么
\[w_1(x_1+q) + w_2x_2 + w_3x_3 = r \]
稍加整理將得到
\[\frac{(x_1-r+q)y_2 - (x_2-r)y_1}{z_2} = \frac{(x_1-r+q)y_3 - (x_3-r)y_1}{z_3} \]
也就是說
\[\frac{(x_1-r+q)y - (x-r)y_1}{z} \]
與期權期限無關，僅僅是 \(t\)，\(S\) 和 \(v\) 的函數，可以記做 \(\Lambda(t,S,v)\)，進而得到 PDE：
\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}S^2v + \frac{\partial E}{\partial v}[\kappa(\theta - v) + \sigma\Lambda] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}\sigma^2v + \frac{\partial^2 E}{\partial S \partial v}\rho\sigma Sv - Er = 0 \]
\(\Lambda\) 到底是什么？
注意到
\[\frac{(x_1-r+q)y - (x-r)y_1}{z} \\= -\frac{yy_1}{z}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \\= -\frac{S\sqrt{v}}{\sigma}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \]
記
\[\lambda = S\sqrt{v}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \]
它可以看做期權和股票 Sharp 比（並非真正意義的 Sharp 比，而是一個類比）的差，再乘以股票價格瞬時變化的標准差。如果把期權看作是交易隨機波動率的工具，而股票僅是隨機波動率的被動承擔者，那么
\[\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1} \]
可以看做是在衡量隨機波動率敞口的風險溢價水平，因為期權在兩個敞口上均有暴露，股票只有一個敞口，兩者相減便剩余隨機波動率敞口。
最終，PDE 變成：
\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}S^2v + \frac{\partial E}{\partial v}[\kappa(\theta - v) - \lambda] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}\sigma^2v + \frac{\partial^2 E}{\partial S \partial v}\rho\sigma Sv - Er = 0 \]
總結
嚴格的來說，上述推導均不嚴謹。
以 \(\frac{1}{V}dV\) 為例，這是一種不規范的寫法，SDE 雖然名字中帶有微分，但是規范的寫法其實是一組積分表達式，\(dS\) 僅僅是一種“縮寫”。正是因為不規范的寫法，\(\frac{1}{V}dV\) 不能再寫成 \(d\ln V\)。這是在隨機性世界，和確定性世界有不一樣的物理規則。
盡管數學表述不規范，但背后的經濟意義卻非常明了。
如果把微分視作差分的極限，\(\frac{1}{V}dV\) 可以看做是瞬時收益率，也就是算數收益率的極限形式的。合約以及資產價值有各自的隨機驅動因子（也就是敞口），消除掉組合的隨機性，也就實現了完美意義上的對沖。
