現代精算風險理論03：聚合風險模型

目錄

• 第三講 聚合風險模型
  • 第一節 聚合風險的分布
    • 一、定義和假設
    • 二、聚合風險的數字特征
    • 三、復合泊松分布
  • 第二節 Panjer 遞推
    • 一、Panjer 遞推的定義
    • 二、復合泊松分布的 Panjer 遞推
  • 第三節 停止損失保費
    • 一、停止損失保費的定義
    • 二、Panjer 遞推與停止損失保費
    • 三、案例

第三講 聚合風險模型

第一節 聚合風險的分布

一、定義和假設

一般聚合風險模型需要考慮時間的因素，因此也往往會考慮利率的因素。為了簡化模型，本節雖然考慮在某個時間段內理賠總額的分布函數，但不考慮利率的因素。

聚合風險模型把風險組合理解為在一定時間段內產生的隨機多個理賠的全體，定義

\[S_N=X_1+X_2+\cdots+X_N, \]

其中 \(N\) 表示理賠次數，\(X_i\ (i=1,2,\cdots,N)\) 表示第 \(i\) 個理賠額。約定當 \(N=0\) 時，\(S_N=0\) 。

聚合風險模型其本質是隨機變量的隨機和，或者說是一個復合分布。聚合風險模型和個體風險模型的差異主要有以下兩點：

• 在個體風險模型中 \(X_i\) 可能為 \(0\) ，在聚合風險模型中一般 \(X_i>0\) ；
• 在個體風險模型中理賠次數 \(n\) 是確定值，在聚合風險模型中理賠次數 \(N\) 是一個隨機變量。

聚合風險模型的基本假設為：

• 個體理賠額 \(X_i\ (i=1,2,\cdots,N)\) 是獨立同分布的，記為與 \(X\) 同分布。
• 索賠次數 \(N\) 是取值為自然數的離散型隨機變量。特別地，
  • 當 \(N\) 服從泊松分布時，稱 \(S_N\) 服從復合泊松分布；
  • 當 \(N\) 服從二項分布時，稱 \(S_N\) 服從復合二項分布；
  • 當 \(N\) 服從負二項分布時，稱 \(S_N\) 服從復合負二項分布；
  • 當 \(N\) 服從幾何分布時，稱 \(S_N\) 服從復合幾何分布。
• 個體理賠額 \(X_i\ (i=1,2,\cdots,N)\) 與索賠次數 \(N\) 相互獨立。

二、聚合風險的數字特征

對於聚合風險模型的總理賠額 \(S_N\) 和個體理賠額 \(X_i\ (i=1,2,\cdots,N)\) ，記

\[\mu_k=\mathbb{E}\left[X^k\right],\quad P(x)=\mathrm{Pr}(X\leq x),\quad F(s)=\mathrm{Pr}(S_N\leq s). \]

利用全期望公式和方差分解准則可以計算總理賠額 \(S_N\) 的期望、方差和矩母函數：

全期望公式：

\[\mathbb{E}(W)=\mathbb{E}[\mathbb{E}(W|V)]. \]

方差分解准則：

\[{\rm Var}(W)={\rm Var}[\mathbb{E}(W|V)]+\mathbb{E}[{\rm Var}(W|V)]. \]

計算 \(S_N\) 的期望：

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(S_N)&=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}(S_N|N)\right] \\ \\ &=\sum_{n=0}^\infty\mathbb{E}[X_1+X_2+\cdots+X_N|N=n]\mathrm{Pr}(N=n) \\ \\ &=\mathbb{E}(X)\sum_{n=0}^\infty n{\rm Pr}(N=n) \\ \\ &=\mu_1\mathbb{E}(N). \end{aligned} \]

計算 \(S_N\) 的方差：

\[\begin{aligned} {\rm Var}(S_N)&={\rm Var}[\mathbb{E}(S_N|N)]+\mathbb{E}[{\rm Var}(S_N|N)] \\ \\ &={\rm Var}(N\mu_1)+\mathbb{E}[N{\rm Var}(X)] \\ \\ &=\mu_1^2{\rm Var}(N)+\mathbb{E}(N){\rm Var}(X). \end{aligned} \]

計算 \(S_N\) 的矩母函數：

\[\begin{aligned} m_S(t)&=\mathbb{E}\left[e^{tS_N}\right] \\ \\ &=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[e^{tS_N}|N]\right] \\ \\ &=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[e^{t(X_1+X_2+\cdots+X_N)}\big|N\right]\right] \\ \\ &=\mathbb{E}\left[\left(m_X(t)\right)^N\right] \\ \\ &=\mathbb{E}\left[e^{N\cdot\log m_X(t)}\right] \\ \\ &=m_N\left(\log m_X(t)\right). \end{aligned} \]

例如：復合幾何分布的分布函數

假設理賠次數 \(N\sim G(p), \ 0<p<1\) ，隨機變量 \(X\sim \mathrm{Exp}(\theta)\) 。求該復合幾何分布 \(S_N\) 的分布。

解題思路：首先計算 \(S_N\) 的矩母函數，然后嘗試通過矩母函數來確定該復合分布。

由 \(N\sim G(p)\) 可知，記 \(q=1-p\) ，當 \(q e^t<1\) 時，即當 \(t<-\log q\) 時，

\[m_N(t)=\sum_{n=0}^\infty e^{tn}pq^n=\frac{p}{1-qe^t}. \]

由 \(X\sim \mathrm{Exp}(\theta)\) 可知

\[m_X(t)=\frac{\theta}{\theta-t} \ , \quad 0<t<\theta. \]

所以 \(S_N\) 的矩母函數為

\[\begin{aligned} m_S(t)&=m_N(\log m_X(t)) \\ \\ &=\frac{p}{1-qm_X(t)} \\ \\ &=\frac{p}{1-\dfrac{q\theta}{\theta-t}} \\ \\ &=\frac{p(\theta-t)}{\theta p-t} \\ \\ &=p+q\frac{\theta p}{\theta p-t}. \end{aligned} \]

可見 \(S_N\) 的矩母函數是常數 \(0\) 的矩母函數與 \({\rm Exp}(\theta p)\) 分布的矩母函數的一個混合。

由分布函數與矩母函數之間的一一對應關系可知，\(S_N\) 的分布函數也具有同樣的混合結構：

\[S_N\xlongequal{d}IX+(1-X)Y. \]

其中 \(I\sim B(1,p), \ X=0 , \ Y\sim \mathrm{Exp}(\theta p)\) 。於是 \(S_N\) 的分布函數為

\[F(x)=p+q(1-e^{-\theta px})=1-qe^{-\theta px} , \quad x\geq0. \]

分布函數 \(F(x)\) 在 \(0\) 點有跳躍，高度為 \(p\) ，而當 \(x>0\) 時，\(F(x)\) 服從指數分布。

三、復合泊松分布

復合泊松分布的數字特征

假設理賠次數 \(N\sim P(\lambda)\) ，隨機變量 \(X\) 的各階矩記為 \(\mathbb{E}(X^k)=\mu_k\) ，矩母函數記為 \(m_X(t)\) 。

復合泊松分布 \(S_N\) 的均值和方差：

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}(S_N)=\mu_1\mathbb{E}(N)=\lambda\mu_1. \\ \\ &\begin{aligned} {\rm Var}(S_N)&= \mu_1^2{\rm Var}(N)+\mathbb{E}(N){\rm Var}(X) \\ \\ &=\lambda\mu_1^2+\lambda(\mu_2-\lambda_1^2) \\ \\ &=\lambda\mu_2. \end{aligned} \end{aligned} \]

復合泊松分布 \(S_N\) 的矩母函數：

\[m_N(t)=\exp\left\{\lambda(e^t-1)\right\}, \\ \\ m_{S}(t)=m_N(\log m_X(t))=\exp\left\{\lambda(m_X(t)-1)\right\}. \]

復合泊松分布 \(S_N\) 的累積量母函數：

\[\kappa_S(t)=\log m_S(t)=\lambda(m_X(t)-1)=\lambda\sum_{k=1}^\infty\mu_k\frac{t^k}{k!}. \]

復合泊松分布 \(S_N\) 的三階中心矩：

\[\mathbb{E}\left[(S_N-\mathbb{E}(S_N))^3\right]=\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}t^3}\kappa_S(t)\bigg|_{t=0}=\lambda\mu_3. \]

復合泊松分布的近似分布

設 \(S_N\) 服從復合泊松分布，其參數為 \(\lambda\) ，記理賠額 \(X\) 的 \(k\) 階矩為 \(\mu_k\) ，則有

\[\mu_{S}=\mathbb{E}(S_N)=\lambda\mu_1, \quad \sigma_S^2={\rm Var}(S_N)=\lambda\mu_2 , \\ \\ \gamma_S=\frac{\lambda\mu_3}{(\sqrt{\lambda\mu_2})^3}=\frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}\sqrt{\lambda}}. \]

復合泊松分布的中心極限定理：

\[\lim_{\lambda\to\infty}\mathrm{Pr}\left[\frac{S_N-\lambda\mu_1}{\sqrt{\lambda\mu_2}}\leq x\right]=\Phi(x) . \]

復合泊松分布的平移伽馬近似：

\[\begin{aligned} &\alpha=\frac{4}{\gamma_S^2}=\frac{4\lambda\mu_2^3}{\mu_3^2}, \\ \\ &\beta=\frac{2}{\gamma_S\sigma_S}=\frac{2\mu_2}{\mu_3},\\ \\ &x_0=\mu_S-\frac{2\sigma_S}{\gamma_S}=\lambda\mu_1-\frac{2\lambda\mu_2^2}{\mu_3}. \end{aligned} \]

復合泊松分布的 NP 近似：

當 \(s\geq1\) 時，

\[\mathrm{Pr}\left[\frac{S_N-\mu_S}{\sigma_S}\leq s+\frac{\gamma_S}{6}(s^2-1)\right]\approx\Phi(s). \]

當 \(x\geq1\) 時，

\[\mathrm{Pr}\left[\frac{S_N-\mu_S}{\sigma_S}\leq x\right]\approx\Phi\left(\sqrt{\frac{9}{\gamma_S^2}+\frac{6x}{\gamma_S}+1}-\frac{3}{\gamma_S}\right). \]

定理（復合泊松分布的和仍是復合泊松分布）如果 \(S_1,S_2,\cdots,S_m\) 是一列獨立的復合泊松分布的隨機變量，分別具有參數 \(\lambda_i\) 和理賠分布 \(P_i(x)\ (i=1,2,\cdots,m)\) ，那么 \(S=S_1+S_2+\cdots+S_m\) 仍是一個復合泊松分布的隨機變量，其參數和理賠分布分別為

\[\lambda=\sum_{i=1}^m\lambda_i , \quad P(x)=\sum_{i=1}^m\frac{\lambda_i}{\lambda}P_i(x). \]

設 \(m_i(x)\) 是 \(P_i(x)\) 的矩母函數，則 \(S\) 的矩母函數為

\[m_S(t)=\prod_{i=1}^m\exp\left\{\lambda_i\left[m_i(t)-1\right]\right\}=\exp\left\{\lambda\left[\sum_{i=1}^m\frac{\lambda_i}{\lambda}m_i(t)-1\right]\right\}. \]

故 \(S\) 是一個復合泊松隨機變量。

該定理常用於解釋以下兩個情景：

• 對任意 \(m\) 個獨立復合泊松風險組合，其總和仍然服從復合泊松分布；
• 對同一個復合泊松風險組合觀測 \(m\) 年且假設每年的結果相互獨立，則 \(m\) 年結果的總和仍然服從復合泊松分布。

定理（理賠次數服從獨立泊松分布） 假設 \(S\) 服從參數為 \(\lambda\) 的復合泊松分布，其中理賠分布是一個離散型分布，且滿足

\[\pi_i=p(x_i)=\mathrm{Pr}(X=x_i) , \quad i=1,2,\cdots,m. \]

如果 \(S\) 可以表示成

\[S=x_1N_1+x_2N_2+\cdots+x_mN_m, \]

其中 \(N_i\) 表示理賠額 \(x_i\) 的發生次數，則 \(N_1,N_2,\cdots,N_m\) 構成一列獨立的 \(P(\lambda\pi_i)\ (i=1,2,\cdots,m)\) 隨機變量。

引理：多項分布

某隨機試驗有 \(k\) 個可能的結果 \(A_1,A_2,\cdots,A_k\) ，它們可能出現的概率分別為 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) 。將它們出現的次數記為隨機變量 \(X_1,X_2,\cdots,X_k\) 。

在 \(n\) 次試驗結果中，\(A_i\) 出現 \(n_i\) 次 \((i=1,2,\cdots,k)\) ，其中 \(n_1+n_2+\cdots+n_k=n\) ，這種事件發生的概率為

\[\mathrm{Pr}(X_1=n_1,X_2=n_2,\cdots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}. \]

隨機向量 \((X_1,X_2,\cdots,X_k)\) 的分布稱為多項分布，記為 \(M(n,p_1,p_2,\cdots,p_k)\) 。

記 \(N=N_1+N_2+\cdots+N_m\) 和 \(n=n_1+m_2+\cdots+n_m\) ，對 \(N=n\) 取條件得

\[(N_1,N_2\cdots,N_m|N=n)\sim M(n,\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_m) , \]

於是

\[\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(N_1=n_1,N_2=n_2,\cdots,N_m=n_m) \\ \\ =\; & \mathrm{Pr}(N_1=n_1,N_2=n_2,\cdots,N_m=n_m|N=n)\mathrm{Pr}(N=n) \\ \\ =\; & \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_m!}\pi_1^{n_1}\pi_2^{n_2}\cdots \pi_m^{n_m} e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!} \\ \\ =\; &\prod_{i=1}^me^{-\lambda\pi_i}\frac{(\lambda\pi_i)^{n_i}}{n_i!} \\ \\ =\; &\mathrm{Pr}(N_1=n_1)\mathrm{Pr}(N_2=n_2)\cdots\mathrm{Pr}(N_m=n_m). \end{aligned} \]

所以 \(N_i\sim P(\lambda\pi_i), \ i=1,2,\cdots,m\) 且相互獨立。

第二節 Panjer 遞推

一、Panjer 遞推的定義

定理（Panjer 遞推）考慮這樣一個復合分布，滿足：

(1) 理賠額 \(X_k\ (k\geq1)\) 獨立同分布，取值為自然數，且具有 \(\mathrm{Pr}(X=x)=p(x), \ x=0,1,2,\cdots\) ；

(2) 理賠次數 \(N\) 屬於 \((a,b,0)\) 族，即對於實數 \(a\) 和 \(b\) ，事件”有 \(n\) 個理賠發生“的概率 \(q_n=\mathrm{Pr}(N=n)\) 滿足如下的遞推關系式：

\[q_n=\left(a+\frac bn\right)q_{n-1} , \quad n=1,2,\cdots, \]

則事件“總理賠額等於 \(s\) “的概率 \(f(s)=\mathrm{Pr}(S_N=s)\) 滿足如下的關系式：

\[\begin{aligned} &f(0)=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{Pr}(N=0) , & p(0)=0, \\ \\ m_N(\log p(0)), & p(0)>0, \end{array}\right. \\ \\ &f(s)=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{h=1}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)p(h)f(s-h),\quad s=1,2,\cdots. \end{aligned} \]

(1) 計算初始值 \(f(0)\) ：

\[f(0)=\mathrm{Pr}(S=0)=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{Pr}(N=n)\left[p(0)\right]^n. \]

當 \(p(0)=0\) 時，

\[f(0)=\mathrm{Pr}(S=0)=\mathrm{Pr}(N=0). \]

當 \(p(0)>0\) 時，

\[f(0)=\mathrm{Pr}(S=0)=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{Pr}(N=n)\left[p(0)\right]^n=m_N(\log p(0)). \]

(2) 記 \(T_k=X_1+X_2+\cdots+X_k,\ k\geq1, \ T_0=0\) 。 由對稱性可得

\[\mathbb{E}\left[X_1|T_k=s\right]=\frac{s}{k}, \]

所以

\[\mathbb{E}\left[a+\frac{bX_1}{s}\bigg|T_k=s\right]=a+\frac{b}{k}. \]

(3) 另一方面，

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[a+\frac{bX_1}{s}\bigg|T_k=s\right]&=\sum_{h=0}^s\left( a+\frac{bh}{s}\right)\mathrm{Pr}(X_1=h|T_k=s) \\ \\ &=\sum_{h=0}^s\left( a+\frac{bh}{s}\right)\frac{\mathrm{Pr}(X_1=h,T_k=s)}{\mathrm{Pr}(T_k=s)} \\ \\ &=\sum_{h=0}^s\left( a+\frac{bh}{s}\right)\frac{\mathrm{Pr}(X_1=h)\mathrm{Pr}(T_k-X_1=s-h)}{\mathrm{Pr}(T_k=s)}. \end{aligned} \]

所以

\[\left(a+\frac{b}{k}\right)\mathrm{Pr}(T_k=s)=\sum_{h=0}^s\left( a+\frac{bh}{s}\right){\mathrm{Pr}(X_1=h)\mathrm{Pr}(T_k-X_1=s-h)}. \]

(4) 對任意的 \(s=1,2,\cdots\) ，有

\[\begin{aligned} f(s)&=\sum_{k=1}^\infty q_k\mathrm{Pr}(T_k=s) \\ \\ &=\sum_{k=1}^\infty q_{k-1}\left(a+\frac bk\right)\mathrm{Pr}(T_k=s) \\ \\ &=\sum_{k=1}^\infty q_{k-1}\sum_{h=0}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)\mathrm{Pr}(X_1=h)\mathrm{Pr}(T_k-X_1=s-h) \\ \\ &=\sum_{h=0}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)\mathrm{Pr}(X_1=h)\sum_{k=1}^\infty q_{k-1}\mathrm{Pr}(T_k-X_1=s-h) \\ \\ &=\sum_{h=0}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)p(h)\sum_{k=1}^\infty q_{k-1}\mathrm{Pr}(T_{k-1}=s-h) \\ \\ &=\sum_{h=0}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)p(h)f(s-h) \\ \\ &=ap(0)f(s)+\sum_{h=1}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)p(h)f(s-h). \end{aligned} \]

由此即可解得 Panjer 遞推

\[f(s)=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{h=1}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)p(h)f(s-h),\quad s=1,2,\cdots. \]

利用 Panjer 遞推計算 \(S_N\) 的概率分布列的優點在於它避免了卷積的計算，但一般來說，\(S_N\) 的概率分布列的遞推公式不存在，只有很少的一些分布滿足遞推關系式。

對於 Panjer 遞推存在的 \(S_N\) ，其任意階矩也可以通過 Panjer 遞推進行計算。對於 \(r=1,2,\cdots\) ，有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[S_N^r\right]&=\sum_{s=0}^\infty s^rf(s) \\ \\ &=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{s=0}^\infty s^r\sum_{h=1}^s\left(a+\frac{bh}{s}\right)p(h)f(s-h) \\ \\ &=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{s=0}^\infty\sum_{h=1}^s\left(as^r+bhs^{r-1}\right)p(h)f(s-h) \\ \\ &=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{h=1}^\infty\sum_{s=h}^\infty\left(as^r+bhs^{r-1}\right)p(h)f(s-h) \\ \\ &=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{h=1}^\infty p(h)\sum_{t=0}^\infty\left(a(t+h)^r+bh(t+h)^{r-1}\right)f(t). \end{aligned} \]

利用二項展開，有

\[\begin{aligned} \sum_{t=0}^\infty(t+h)^rf(t)&=\sum_{t=0}^\infty\sum_{i=0}^r{r \choose i}t^ih^{r-i}f(t) \\ \\ &=\sum_{i=0}^r{r \choose i}h^{r-i}\sum_{t=0}^\infty t^if(t) \\ \\ &=\sum_{i=0}^r{r \choose i}h^{r-i}\mathbb{E}\left[S_N^i\right]. \end{aligned} \]

因此，有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[S_N^r\right]&=\frac{1}{1-ap(0)}\sum_{h=1}^\infty p(h)\left[a\sum_{i=0}^r{r \choose i}h^{r-i}\mathbb{E}\left[S_N^i\right]+bh\sum_{i=0}^{r-1}{r-1 \choose i}h^{r-i-1}\mathbb{E}\left[S_N^i\right]\right] \\ \\ &=\frac{1}{1-ap(0)}\left[a\sum_{i=0}^r{r \choose i}\mathbb{E}\left[S_N^i\right]\sum_{h=1}^\infty h^{r-i}p(h)+b\sum_{i=0}^{r-1}{r-1 \choose i}\mathbb{E}\left[S_N^i\right]\sum_{h=1}^\infty h^{r-i}p(h)\right] \\ \\ &=\frac{1}{1-ap(0)}\left[\sum_{i=0}^{r-1}\left[a{r \choose i}+b{r-1 \choose i}\right]\mathbb{E}\left[S_N^i\right]\mathbb{E}\left[X_1^{r-i}\right]+a\mathbb{E}\left[S_N^r\right]\sum_{h=1}^\infty p(h)\right]. \end{aligned} \]

由於 \(\sum_{k=1}^\infty f_k=1-f_0\) ，對上述等式進行整理可得

\[\mathbb{E}\left[S_N^r\right]=\frac{1}{1-a}\sum_{i=0}^{r-1}\left[a{r \choose i}+b{r-1 \choose i}\right]\mathbb{E}\left[S_N^i\right]\mathbb{E}\left[X_1^{r-i}\right]. \]

二、復合泊松分布的 Panjer 遞推

對於 \(N\sim P(\lambda)\) ，有 \(a=0,\ b=\lambda\geq0\) ，並且遞推關系可以被簡化為

\[\begin{aligned} &f(0)=e^{-\lambda(1-p(0))}, \\ \\ &f(s)=\frac1s\sum_{h=1}^s\lambda hp(h)f(s-h), \quad s=1,2,\cdots. \\ \\ &\mathbb{E}\left[S_N^r\right]=\lambda\sum_{i=0}^{r-1}{r-1 \choose i}\mathbb{E}\left[S_N^i\right]\mathbb{E}\left[X_1^{r-i}\right], \quad r=1,2,\cdots. \end{aligned} \]

利用 Panjer 遞推公式也可以求復合泊松分布的前三階矩：

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}(S_N)=\lambda\mathbb{E}(X_1)=\lambda\mu_1. \\ \\ &\mathbb{E}(S_N^2)=\lambda\left[\mathbb{E}(X_1^2)+\mathbb{E}(S_N)\mathbb{E}(X_1)\right]=\lambda\mu_2+\left[\mathbb{E}(S_N)\right]^2. \\ \\ &\begin{aligned} \mathbb{E}(S_N^3)&=\lambda\left[\mathbb{E}(X_1^3)+2\mathbb{E}(S_N)\mathbb{E}(X_1^2)+\mathbb{E}(S_N^2)\mathbb{E}(X_1)\right] \\ \\ &=\lambda\mu_3+2\mathbb{E}(S_N)\left[\mathbb{E}(S_N^2)-\left[\mathbb{E}(S_N)\right]^2\right]+\mathbb{E}(S_N^2)\mathbb{E}(S_N) \\ \\ &=\lambda\mu_3+3\mathbb{E}(S_N^2)\mathbb{E}(S_N)-2\left[\mathbb{E}(S_N)\right] ^3. \end{aligned} \end{aligned} \]

由此也可以推出

\[\begin{aligned} &{\rm Var}(S_N)=\mathbb{E}(S_N^2)-\left[\mathbb{E}(S_N)\right]^2=\lambda\mu_2 , \\ \\ &\mathbb{E}\left[(S_N-\mathbb{E}(S_N))^3\right]=\mathbb{E}(S_N^3)-3\mathbb{E}(S_N^2)\mathbb{E}(S_N)+2\left[\mathbb{E}(S_N)\right]^3=\lambda\mu_3. \end{aligned} \]

第三節 停止損失保費

一、停止損失保費的定義

在保險實務中，為了促使投保人有自我防災意識，以減少不必要的損失，通常不是全額承包。保險合同規定的賠付額通常低於實際損失。由於理賠額是損失的函數，故常記為 \(I(X)\) ，滿足 \(0\leq I(X)\leq X\) 。

有一種簡單但特別重要的形式為

\[I_d=\max\{0，X-d\}=(X-d)_{+}, \]

其中 \(d\) 稱為免賠額。它的意義是當損失低於免賠額 \(d\) 時不予理賠，只有超過 \(d\) 的部分才予以理賠，其理賠額為 \(X-d\) 。這種形式稱為停止損失。

對於停止損失保險合同，其純保費為 \(\mathbb{E}\left[(X-d)_{+}\right]\) 稱為停止損失保費，記為 \(\pi_X(d)=\mathbb{E}\left[(X-d)_{+}\right]\) 。由於停止損失保費是免賠額 \(d\) 的函數，故也稱為停止損失函數。

若風險 \(X\) 是連續型隨機變量，其密度函數為 \(f_X(x)\) ，假設 \(\mathbb{E}(X)<\infty\) ，則停止損失保費為

\[\pi_X(d)=\int_d^\infty (x-d)f_X(x)\mathrm{d}x. \]

記 \(F_X(x)\) 為隨機變量 \(X\) 的分布函數，記 \(\bar{F}_X(x)=1-F(x)\) 為生存函數，則有

\[\pi_X(d)=-(x-d)\bar{F}_X(x)\bigg|_d^\infty+\int_d^\infty\bar{F}_X(x)\mathrm{d}x=\int_d^\infty\bar{F}_X(x)\mathrm{d}x. \]

若風險 \(X\) 是連續型隨機變量，並且在 \(x\) 處有概率為 \(f_X(x)\) ，則停止損失保費為

\[\pi_X(d)=\sum_{x>d}(x-d)f_X(x). \]

如果 \(X\) 在 \(x_1<x_2<\cdots<x_k<d<x_{k+1}<\cdots\) 處有概率，記分布函數 \(F_X(x)=\mathrm{Pr}(X\leq x)\) ，則有

\[\pi_X(d)=\bar{F}_X(x_{k})(x_{k+1}-d)+\sum_{i=k+1}\bar{F}_X(x_i)(x_{i+1}-x_i)=\int_d^\infty\bar{F}_X(x)\mathrm{d}x. \]

對於任意的風險 \(X\) ，其停止損失函數可以統一表示為

\[\pi_X(d)=\int_d^\infty\bar{F}_X(x)\mathrm{d}x. \]

由停止損失函數可得

\[\pi_X'(d)=F_X(x)-1 , \quad F_X(x)=\pi_X'(d)+1. \]

可以證明停止損失函數與分布函數構成一一對應關系，即兩個風險具有相同的停止損失函數，則必有相同的分布函數，反之亦然。

對於任意停止損失函數，滿足如下三個條件：

• 停止損失函數 \(\pi_X(d)\) 是一個連續函數；
• 停止損失函數 \(\pi_X(d)\) 關於 \(d\) 嚴格遞減；
• \(\pi_X(0)=\mathbb{E}(X), \ \pi_X(\infty)=0\) 。

如果存在一個函數 \(\pi(\cdot)\) 滿足以上三個性質，則稱為停止損失函數，並且一定存在一個隨機變量 \(X\) ，其停止損失函數恰好為 \(\pi(\cdot)\) 。

二、Panjer 遞推與停止損失保費

對於一個整值隨機變量 \(S\) ，其停止損失保費可以表示為

\[\pi(d)=\mathbb{E}\left[(S-d)_+\right]=\sum_{x=d}^\infty(x-d)f(x)=\sum_{x=d}^\infty[1-F(x)]. \]

利用 Panjer 遞推，停止損失保費也可以通過遞推求得，對整數 \(d\geq0\) ，有

\[\begin{aligned} &\pi(0)=\mathbb{E}(S), \\ \\ &\pi(d)=\sum_{x=d}^\infty[1-F(x)]=\pi(d-1)-[1-F(d-1)], \quad d=1,2,\cdots. \end{aligned} \]

假設 \(S\) 服從復合泊松分布，\(N\sim P(1)\) ，其中 \(X_i\) 為兩點分布

\[p(1)=p(2)=\frac12. \]

給出停止損失保費的遞推公式。

復合泊松分布的 Panjer 遞推如下：

\[\begin{aligned} &f(0)=e^{-\lambda(1-p(0))}, \\ \\ &f(s)=\frac1s\sum_{h=1}^s\lambda hp(h)f(s-h), \quad s=1,2,\cdots. \end{aligned} \]

由題意知 \(\lambda=1,\ p(0)=0\) ，因此

\[\begin{aligned} &f(0)=e^{-1}, \\ \\ &f(1)=\frac12f(0)=\frac12e^{-1} , \\ \\ &f(x)=\frac1x\left[\frac12f(x-1)+f(x-2)\right], \quad x=2,3,\cdots. \end{aligned} \]

由題意知 \(\mu_1=\mathbb{E}(X_1)=\dfrac32\) ，初始值為

\[\begin{aligned} &f(0)=e^{-1}, \quad F(0)=f(0), \quad \pi(0)=\mathbb{E}(S)=\lambda\mu_1=\frac32. \end{aligned} \]

由遞推公式可以得出 \(F(x)\) 和 \(\pi(d)\) 的值。

三、案例

正態分布的停止損失保費：設 \(S\sim N(\mu,\sigma^2)\) ，考慮 \(S\) 的取自留額 \(d\) 的停止損失保費。

如果 \(Z\sim N(0,1)\) ，則 \(S\xlongequal{d}\sigma Z+\mu\sim N(\mu,\sigma^2)\) ，於是所要計算的停止損失保費為

\[\mathbb{E}\left[(S-d)_+\right]=\mathbb{E}\left[(\sigma Z+\mu-d)_+\right]=\sigma\left[\mathbb{E}\left(Z-\frac{d-\mu}{\sigma}\right)_+\right]. \]

因此，先考慮特殊情形 \(\mu=0\) 和 \(\sigma^2=1\) ，即標准正態分布情形。

因為 \(\phi'(u)=-u\phi(u)\) ，所以有

\[\int_t^\infty u\phi(u)\mathrm{d}u=\int_t^\infty\left[-\phi'(u)\right]\mathrm{d}u=\phi(t). \]

於是可以得到

\[\pi(t)=\mathbb{E}\left[(Z-t)_{+}\right]=\int_t^\infty(u-t)\phi(u)\mathrm{d}u=\phi(t)-t[1-\Phi(t)], \]

從而有

\[\mathbb{E}\left[(S-t)_{+}\right]=\sigma\phi\left(\frac{d-\mu}{\sigma}\right)-(d-u)\left[1-\Phi\left(\frac{d-\mu}{\sigma}\right)\right]. \]

伽馬分布的停止損失保費：設 \(S\sim \Gamma(\alpha,\beta)\) ，用 \(G(x;\alpha,\beta)\) 表示 \(S\) 的分布函數。考慮 \(S\) 的取自留額 \(d\) 的停止損失保費。記 \(\bar{G}(x;\alpha,\beta)=1-G(x;\alpha,\beta)\) 為 \(\Gamma(\alpha,\beta)\) 的生存函數。\

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[(S-d)_+\right]&=\int_d^\infty(x-d)f(x)\mathrm{d}x \\ \\ &=\int_d^\infty(x-d)\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\mathrm{d}x\\ \\ &=\int_d^\infty\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha}e^{-\beta x}\mathrm{d}x-d\bar{G}(d;\alpha,\beta)\\ \\ &=\frac\alpha\beta\bar{G}(d;\alpha+1,\beta)-d\bar{G}(d;\alpha,\beta) \\ \\ &=\frac\alpha\beta\left[1-G(d;\alpha+1,\beta)\right]-d\left[1-G(d;\alpha,\beta)\right]. \end{aligned} \]

停止損失保費的 NP 近似：對於某些隨機變量 \(X\) ，當 \(y>1\) 時，隨機事件 \(\{X>y\}\) 的概率用 NP 近似效果較好。考慮對 \(X\) 的停止損失保費，即 \(\mathbb{E}\left[(X-d)_+\right]\) 的給出 NP 近似。

對 \(u\geq1\) 和 \(y\geq1\) ，定義輔助函數：

\[q(u)=u+\frac\gamma6\left(u^2-1\right),\quad w(y)=\sqrt{\frac9{\gamma^2}+\frac{6y}\gamma+1}-\frac3\gamma, \]

易知 \(w(q(u))=u\) 和 \(q(w(y))=y\) ，進一步可知 \(q(\cdot)\) 和 \(w(\cdot)\) 都是單調遞增函數，並且

\[q(u)\geq y \quad \iff \quad w(y)\leq u. \]

例如：設 \(Z\) 是一個均值為 \(0\) ，標准差為 \(1\) ，偏度為 \(\gamma>0\) 的隨機變量，采用 NP 近似來計算停止損失保費。

由 NP 近似可知

\[\mathrm{Pr}(Z>q(u))=\mathrm{Pr}(w(Z)>u)\approx 1-\Phi(u),\quad u\geq1. \]

設 \(U\sim N(0,1)\) ，定義隨機變量 \(V=\max\{q(U),1\}\) 。

由於 \(q(1)=1\) 且 \(q(\cdot)\) 單調，因此當 \(U\geq1\) 時，有 \(q(U)\geq1\) ，所以

\[\mathrm{Pr}(V>q(u))=\mathrm{Pr}(U>u)=1-\Phi(u),\quad u\geq1. \]

由此可得

\[\mathrm{Pr}(Z>q(u))\approx 1-\Phi(u)=\mathrm{Pr}(V>q(u)),\quad u\geq1. \]

當 \(d\geq1\) 時，停止損失保費可以通過 \(V\) 的停止損失保費來近似，即

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[(Z-d)_+\right]&=\int_d^\infty\mathrm{Pr}(Z>y)\mathrm{d}y \\ \\ &\approx\int_d^\infty\mathrm{Pr}(V>y)\mathrm{d}y=\mathbb{E}\left[(V-d)_+\right] \\ \\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\max\{q(u),1\}-d\right)_+\phi(u)\mathrm{d}u \\ \\ &=\int_{w(d)}^\infty(q(u)-d)\phi(u)\mathrm{d}u. \end{aligned} \]

最后一個等式用到了 \(q(u)\geq y \ \ \iff \ \ w(y)\leq u\) 。

為了計算上面的積分，需要利用如下的結果：

\[\phi'(u)=-u\phi(u), \\ \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}[u\phi(u)]=(1-u^2)\phi(u) \quad \Longrightarrow \quad \int_t^\infty[u^2-1]\phi(u)\mathrm{d}u=t\phi(t). \]

由此可得

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[(Z-d)_+\right]&\approx \int_{w(d)}^\infty(q(u)-d)\phi(u)\mathrm{d}u \\ \\ &= \int_{w(d)}^\infty\left[u+\frac\gamma6(u^2-1)-d\right]\phi(u)\mathrm{d}u \\ \\ &=\phi(w(d))+\frac\gamma6w(d)\phi(w(d))-d[1-\Phi(w(d))]. \end{aligned} \]

這個公式可用於任何一個滿足期望為 \(0\) ，方差為 \(1\) ，偏度為 \(\gamma>0\) 的風險變量 \(Z\) 的停止損失保費的近似公式。