拓端數據tecdat|R語言Fama-French三因子模型實際應用：優化投資組合

原文鏈接：http://tecdat.cn/?p=20360 

 

本文將說明金融數學中的R 語言優化投資組合，因子模型的實現和使用。

具有單一市場因素的宏觀經濟因素模型

我們將從一個包含單個已知因子（即市場指數）的簡單示例開始。該模型為

其中顯式因子ft為S＆P 500指數。我們將做一個簡單的最小二乘（LS）回歸來估計截距α和加載β：

大多數代碼行用於准備數據，而不是執行因子建模。讓我們開始准備數據：

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 設置開始結束日期和股票名稱列表
4.  
   begin_date <- "2016-01-01"
5.  
   end_date <- "2017-12-31"
6.  
    
7.  
    
8.  
   # 從YahooFinance下載數據
9.  
   data_set <- xts()
10.  
    for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
11.  
    data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
12.  
    from = begin_date, to = end_date,
13.  
    head(data_set)
14.  
    #> AAPL AMD ADI ABBV AEZS A APD AA CF
15.  
    #> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227
16.  
    #> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059
17.  
    #> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988
18.  
    #> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520
19.  
    #> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761
20.  
    #> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919
21.  
     
22.  
    head(SP500_index)
23.  
    #> index
24.  
    #> 2016-01-04 2012.66
25.  
    #> 2016-01-05 2016.71
26.  
    #> 2016-01-06 1990.26
27.  
    #> 2016-01-07 1943.09
28.  
    #> 2016-01-08 1922.03
29.  
    #> 2016-01-11 1923.67
30.  
    plot(SP500_index)
31.  
     

1.  
    
2.  
   # 計算股票和SP500指數的對數收益率作為顯式因子
3.  
   X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
4.  
   N <- ncol(X) # 股票數量
5.  
   T <- nrow(X) # 天數

現在我們准備進行因子模型擬合。LS擬合很容易在R中實現，如下所示：

1.  
    
2.  
   beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))
3.  
   alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)
4.  
   sigma2 <- rep(NA, N)
5.  
    
6.  
   print(alpha)
7.  
   #> index
8.  
   #> AAPL 0.0003999086
9.  
   #> AMD 0.0013825599
10.  
    #> ADI 0.0003609968
11.  
    #> ABBV 0.0006684632
12.  
    #> AEZS -0.0022091301
13.  
    #> A 0.0002810616
14.  
    #> APD 0.0001786375
15.  
    #> AA 0.0006429140
16.  
    #> CF -0.0006029705
17.  
    print(beta)
18.  
    #> index
19.  
    #> AAPL 1.0957919
20.  
    #> AMD 2.1738304
21.  
    #> ADI 1.2683047
22.  
    #> ABBV 0.9022748
23.  
    #> AEZS 1.7115761
24.  
    #> A 1.3277212
25.  
    #> APD 1.0239453
26.  
    #> AA 1.8593524
27.  
    #> CF 1.5702493

或者，我們可以使用矩陣表示法進行擬合，我們定義和擴展因子。然后最小化

1.  
   t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)
2.  
    
3.  
   #> alpha beta
4.  
   #> AAPL 0.0003999086 1.0957919
5.  
   #> AMD 0.0013825599 2.1738304
6.  
   #> ADI 0.0003609968 1.2683047
7.  
   #> ABBV 0.0006684632 0.9022748
8.  
   #> AEZS -0.0022091301 1.7115761
9.  
   #> A 0.0002810616 1.3277212
10.  
    #> APD 0.0001786375 1.0239453
11.  
    #> AA 0.0006429140 1.8593524
12.  
    #> CF -0.0006029705 1.5702493
13.  
    E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X)) # 殘差
14.  
     

另外，我們可以簡單地使用R為我們完成工作：

1.  
    
2.  
   cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)
3.  
   #> alpha index
4.  
   #> AAPL 0.0003999086 1.0957919
5.  
   #> AMD 0.0013825599 2.1738304
6.  
   #> ADI 0.0003609968 1.2683047
7.  
   #> ABBV 0.0006684632 0.9022748
8.  
   #> AEZS -0.0022091301 1.7115761
9.  
   #> A 0.0002810616 1.3277212
10.  
    #> APD 0.0001786375 1.0239453
11.  
    #> AA 0.0006429140 1.8593524
12.  
    #> CF -0.0006029705 1.5702493

可視化協方差矩陣

有趣的是，可視化對數收益率[算術處理誤差]以及殘差Ψ的估計協方差矩陣。讓我們從對數收益率的協方差矩陣開始：

1.  
    
2.  
   main = "單因子模型對數收益的協方差矩陣")

我們可以觀察到所有股票都是高度相關的，這是市場因素的影響。為了檢查股票相關關系，我們繪制相關圖：

1.  
   plot(cov2cor(Psi),
2.  
   main = "殘差協方差矩陣")

1.  
    
2.  
   cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行業
3.  
   #> stock_namelist sector_namelist
4.  
   #> [1,] "AAPL" "Information Technology"
5.  
   #> [2,] "AMD" "Information Technology"
6.  
   #> [3,] "ADI" "Information Technology"
7.  
   #> [4,] "ABBV" "Health Care"
8.  
   #> [5,] "AEZS" "Health Care"
9.  
   #> [6,] "A" "Health Care"
10.  
    #> [7,] "APD" "Materials"
11.  
    #> [8,] "AA" "Materials"
12.  
    #> [9,] "CF" "Materials"

有趣的是，我們可以觀察到對Ψ執行的自動聚類可以正確識別股票的行業。

評估投資資金

在此示例中，我們將基於因子模型評估幾種投資基金的績效。我們將標准普爾500指數作為明確的市場因素，並假設無風險收益為零 rf = 0。特別是，我們考慮六種交易所買賣基金（ETF）：

我們首先加載數據：

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 設置開始結束日期和股票名稱列表
4.  
   begin_date <- "2016-10-01"
5.  
   end_date <- "2017-06-30"
6.  
    
7.  
   # 從YahooFinance下載數據
8.  
   data_set <- xts()
9.  
   for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
10.  
    data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
11.  
     
12.  
    head(data_set)
13.  
    #> SPY XIVH SPHB SPLV USMV JKD
14.  
    #> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765
15.  
    #> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081
16.  
    #> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421
17.  
    #> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826
18.  
    #> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296
19.  
    #> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978
20.  
     
21.  
    head(SP500_index)
22.  
    #> index
23.  
    #> 2016-10-03 2161.20
24.  
    #> 2016-10-04 2150.49
25.  
    #> 2016-10-05 2159.73
26.  
    #> 2016-10-06 2160.77
27.  
    #> 2016-10-07 2153.74
28.  
    #> 2016-10-10 2163.66
29.  
     
30.  
    # 計算股票和SP500指數的對數收益率作為顯式因子
31.  
    X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
32.  
    N <- ncol(X) # 股票數量
33.  
    T <- nrow(X) # 天數
34.  
     
35.  
     

現在我們可以計算所有ETF的alpha和beta：

1.  
    
2.  
   #> alpha beta
3.  
   #> SPY 7.142225e-05 1.0071424
4.  
   #> XIVH 1.810392e-03 2.4971086
5.  
   #> SPHB -2.422107e-04 1.5613533
6.  
   #> SPLV 1.070918e-04 0.6777149
7.  
   #> USMV 1.166177e-04 0.6511667
8.  
   #> JKD 2.569578e-04 0.8883843

現在可以進行一些觀察：

• SPY是S＆P 500的ETF，如預期的那樣，其alpha值幾乎為零，beta值幾乎為1： α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。
• XIVH是具有高alpha值的ETF，計算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2個數量級）： α= 1.810392×10-3。
• SPHB是一種ETF，據推測具有很高的beta，而計算出的beta卻是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，計算出的alpha為負，因此，該ETF應謹慎。
• SPLV是降低波動性的ETF，實際上，計算得出的beta偏低：β= 0.6777072。
• USMV還是降低波動性的ETF，實際上，計算出的beta是最低的：β= 0.6511671。
• JKD顯示出很好的折衷。

我們可以使用一些可視化：

1.  
    
2.  
   barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph

我們還可以使用例如Sharpe比率，以更系統的比較不同的ETF。回顧一種資產和一個因素的因子模型

我們獲得

夏普比率如下：

假設。因此，基於Sharpe比率對不同資產進行排名的一種方法是根據α/β比率對它們進行排名：

1.  
    
2.  
   print(ranking)
3.  
   #> alpha/beta SR alpha beta
4.  
   #> XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086
5.  
   #> JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843
6.  
   #> USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667
7.  
   #> SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149
8.  
   #> SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424
9.  
   #> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533

可以看到：

• 就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α負）。
• 就夏普比率（更確切地說，是信息比率，因為我們忽略了無風險利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。這證實了大多數投資基金的表現不超過市場的觀點。
• 顯然，無論以哪種衡量標准，SPHB都是最差的：負α，負β比率和Sharpe比率。
• JDK之所以能夠取得最佳性能，是因為它的alpha值很好（盡管不是最好的），而同時具有0.88的中等beta值。
• XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市場上具有極端敞口。
• USMV在市場上的曝光率最小，有可接受的alpha值，並且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。

Fama-French三因子模型

該示例將說明使用標准普爾500指數中的九種股票的Fama-French三因子模型。讓我們從加載數據開始：

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 設置開始結束日期和股票名稱列表
4.  
   begin_date <- "2013-01-01"
5.  
   end_date <- "2017-08-31"
6.  
    
7.  
   # 從YahooFinance下載數據
8.  
   data_set <- xts()
9.  
   for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
10.  
    data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
11.  
     
12.  
    # 下載Fama-French因子
13.  
     
14.  
     
15.  
    head(fama_lib)
16.  
    #> Mkt.RF SMB HML
17.  
    #> 1926-07-01 0.10 -0.24 -0.28
18.  
    #> 1926-07-02 0.45 -0.32 -0.08
19.  
    #> 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35
20.  
    #> 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03
21.  
    #> 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15
22.  
    #> 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56
23.  
    tail(fama_lib)
24.  
    #> Mkt.RF SMB HML
25.  
    #> 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04
26.  
    #> 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44
27.  
    #> 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03
28.  
    #> 2017-11-28 1.06 0.38 0.84
29.  
    #> 2017-11-29 0.02 0.04 1.45
30.  
    #> 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50
31.  
     
32.  
    # 計算股票的對數收益率和Fama-French因子
33.  
    X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
34.  
    N <- ncol(X) #股票數量
35.  
     
36.  
     

現在我們在矩陣F中具有三個因子，並希望擬合模型，其中現在的載荷是一個beta矩陣：。我們可以做最小二乘擬合，最小化。更方便地，我們定義和擴展因子 。然后可以將LS公式寫為最小化

1.  
   print(Gamma)
2.  
   #> alpha b1 b2 b3
3.  
   #> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
4.  
   #> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117
5.  
   #> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271
6.  
   #> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627
7.  
   #> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182
8.  
   #> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290
9.  
   #> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938
10.  
    #> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692
11.  
    #> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523

另外，我們可以使用R完成：

1.  
   #> alpha Mkt.RF SMB HML
2.  
   #> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
3.  
   #> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117
4.  
   #> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271
5.  
   #> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627
6.  
   #> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182
7.  
   #> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290
8.  
   #> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938
9.  
   #> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692
10.  
    #> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523

統計因子模型

現在讓我們考慮統計因子模型或隱式因子模型，其中因子和載荷均不可用。調用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：

1. PCA：
   • 樣本均值：
   • 矩陣：
   • 樣本協方差矩陣：
   • 特征分解：
2. 估計：
   •  
   • 
   • 
3. 更新特征分解：
4. 重復步驟2-3，直到收斂為止。

1.  
   #> alpha
2.  
   #> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
3.  
   #> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
4.  
   #> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
5.  
   #> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
6.  
   #> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
7.  
   #> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
8.  
   #> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
9.  
   #> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
10.  
    #> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

同樣，我們可以使用R完成工作：

1.  
   #> alpha factor1 factor2 factor3
2.  
   #> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
3.  
   #> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
4.  
   #> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
5.  
   #> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
6.  
   #> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
7.  
   #> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
8.  
   #> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
9.  
   #> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
10.  
    #> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

通過不同因子模型進行協方差矩陣估計的最終比較

我們最終將比較以下不同的因子模型：

• 樣本協方差矩陣
• 宏觀經濟一因素模型
• 基本的三因素Fama-French模型
• 統計因素模型

我們在訓練階段估計模型，然后將估計的協方差矩陣與測試階段的樣本協方差矩陣進行比較。估計誤差將根據PRIAL（平均損失提高百分比）進行評估：

加載訓練和測試集：

1.  
   # 設置開始結束日期和股票名稱列表
2.  
   begin_date <- "2013-01-01"
3.  
   end_date <- "2015-12-31"
4.  
    
5.  
   # 准備股票數據
6.  
   data_set <- xts()
7.  
   for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
8.  
   data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
9.  
    
10.  
     
11.  
    # Fama-French 因子
12.  
    mydata <- mydata[-nrow(mydata),
13.  
     
14.  
     
15.  
    # 准備指數
16.  
    f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)
17.  
     
18.  
    # 將數據拆分為訓練數據和測試數據
19.  
    T_trn <- round(0.45*T)
20.  
    X_trn <- X[1:T_trn, ]
21.  
    X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]

 現在讓我們用訓練數據估算不同的因子模型：

1.  
    
2.  
   # 樣本協方差矩陣
3.  
   Sigma_SCM <- cov(X_trn)
4.  
    
5.  
   # 單因素模型
6.  
   Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))
7.  
    
8.  
   E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))
9.  
    
10.  
    # Fama-French三因子模型
11.  
     
12.  
    Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))
13.  
     
14.  
    # 統計單因子模型
15.  
     
16.  
    while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
17.  
    B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
18.  
     
19.  
     
20.  
     
21.  
    # 統計三因子模型
22.  
    K <- 3
23.  
     
24.  
    while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
25.  
    B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
26.  
    Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
27.  
     
28.  
    Sigma_PCA3 <- Sigma
29.  
     
30.  
    # 統計五因子模型
31.  
    K <- 5
32.  
     
33.  
    eigSigma <- eigen(Sigma)
34.  
    while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {
35.  
    B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
36.  
    Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

最后，讓我們比較測試數據中的不同估計：

1.  
    
2.  
   Sigma_true <- cov(X_tst)
3.  
    
4.  
   barplot(error, main = "協方差矩陣估計誤差",

1.  
    
2.  
   PRIAL <- 100*(ref - error^2)/ref
3.  
    
4.  
   barplot(PRIAL, main = "協方差矩陣估計的先驗方法",

最終可以看到使用因子模型進行協方差矩陣估計會有所幫助。

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