分數階微分在圖像處理中的應用

本文轉載自查看原文 2020-11-18 20:24 387

圖像處理：去噪、增強、重構、分割、復原、提取特征。

圖像去噪：空間域去噪方法和變換域去噪方法。空間域去噪方法是直接對圖像的像素進行處理，eg:均值濾波、中值濾波和偏微分方程濾波方法；變換域去噪方法主要是利用有信號和噪聲信號在變換域中表現的不填特征來有效的去除噪聲，eg:傅里葉變換、小波變換濾波方法等等。

偏微分方程圖像的去噪方法

偏微分方程（Partial Differential Equations）圖像處理一般是采用某一能量泛函，通過變分，得到歐拉—拉格朗日方程，並用梯度下降法求得到相應的解。

　　初次出現的PDE濾波模型是線性的熱擴散方程，該模型的擴散行為是朝四周各個方向的，不可避免地會破壞圖像的邊緣等特色。為了克服這種缺陷，許多研究者從各種角度提出各種方法來避免這種“同向擴散（ lsotropic Diffusion )”行為，於是就誕生了各種整數階PDE濾波模型，如P-M模型，ROF模型等等。

分數階偏微分方程圖像處理的優點

　　從數學性質上講,對紋理結構的本身特性而言,紋理是具有弱導數(即分數階導數)特性的信息,整數階微分算子並不適合於處理這類具有弱導數的信息。

　　分數階微分算子在加強信號中高頻成分的同時，對信號的低頻分量進行了非線性保留。所以，分數階微分可以大幅提升高頻成分，增強中頻成分，非線性保留低頻成分。所以采用分數階微分進行圖像去噪時，不僅能夠較好地保持圖像邊緣特征，還能較好地保留圖像平滑區域內灰度變化不大的紋理細節信息。

分數階導數的定義

　　分數階微積分的定義主要分為空域中的定義和頻域中的定義兩大類，空域中的定義主要包括Grumwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義,頻域中的定義主要包括在Fourier變換域、LaPlace變換域中的定義形式。

Grünwald-Letnikov分數階微積分

整數階高階導數：

$\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} t^{n}} f(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{n}} \sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} n \\ j \end{array}\right) f(t-j h)$

其中二項式展開式可以寫成

$(1-z)^{n}=\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} n \\ j \end{array}\right) z^{j}=\sum_{j=0}^{n} \frac{(-1)^{j} n !}{j !(n-j) !} z^{j}$

二項式系數可以由下式計算

$(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} n \\ j \end{array}\right)=(-1)^{j} \frac{n !}{j !(n-j) !}$

分數階微分定義：給定函數 $f(t)$ 的 $\alpha$ 階導數的Grünwald-Letnikov定義為

$\underset{t_{0}}{^{GL}} \mathscr{D}_{t}^{\alpha} f(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum_{j=0}^{\left[\left(t-t_{0}\right) / h\right]}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} \alpha \\ j \end{array}\right) f(t-j h)$

其中 $(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} \alpha \\ j \end{array}\right)=\frac{(-1)^{j} \Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(j+1) \Gamma(\alpha-j+1)}$ 。 $[\cdot]$ 表示取最接近的整數。

說明：

（1）算子左上角的GL記號表示Grünwald-Letnikov定義，沒有沖突時可略去；

（2）可以看出整數階微分只使用當前和幾個有限步長內的函數值，而分數階微分涉及從 $t_{0}$ 開始的所有函數值，可以認為分數階導數是有記憶的；

（3）該定義同樣適用於 $\alpha>0$ 和 $\alpha<0$ 的微分與積分，另外，若 $\alpha=0$ ，由定義可見 $\underset{t_{0}}{^{GL}} \mathscr{D}_{t}^{\alpha}f(t)=f(t)$ ；

（4）該定義滿足統一的分數階微積分算子定義。

數值計算

一、直接計算方法

步驟：

（1）計算出給定函數 $f(t)$ 在各個時刻的樣本點並構造向量 $\boldsymbol{f}$ ；

（2）根據 $w_{j}=(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} \alpha \\ j \end{array}\right)=\frac{(-1)^{j} \Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(j+1) \Gamma(\alpha-j+1)}$ 計算二項式系數；

（3）根據 $\underset{t_{0}}{^{GL}} \mathscr{D}_{t}^{\alpha} f(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum_{j=0}^{\left[\left(t-t_{0}\right) / h\right]}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} \alpha \\ j \end{array}\right) f(t-j h)$ 直接計算分數階導數。

二、Grünwald-Letnikov分數階導數與積分

定理1：如果選擇的計算步長 $h$ 足夠小，則 $\underset{t_{0}}{^{GL}} \mathscr{D}_{t}^{\alpha} f(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum_{j=0}^{\left[\left(t-t_{0}\right) / h\right]}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} \alpha \\ j \end{array}\right) f(t-j h)$ 中的求極限操作可以忽略，這樣，Grünwald-Letnikov定義下的分數階導數與積分可以由下面的式子直接計算：

$\underset{t_{0}}{^{GL}} \mathscr{D}_{t}^{\alpha} f(t) \approx \frac{1}{h^{\alpha}} \sum_{j=0}^{\left[\left(t-t_{0}\right) / h\right]} w_{j} f(t-j h)$

式中， $w_{j}$ 為二項式 $(1-z)^{\alpha}$ 的系數，該系數還可以通過下式遞推求出：

$w_{0}=1, \quad w_{j}=\left(1-\frac{\alpha+1}{j}\right) w_{j-1}, \quad j=1,2, \cdots$

步驟：

（1）計算給定信號在各個時刻的函數值，構造向量 $\boldsymbol{f}$ ；

（2）由 $w_{0}=1, \quad w_{j}=\left(1-\frac{\alpha+1}{j}\right) w_{j-1}, \quad j=1,2, \cdots$ 遞推計算二項式系數 $w_{j}$ ；

（3）由 $\underset{t_{0}}{^{GL}} \mathscr{D}_{t}^{\alpha} f(t) \approx \frac{1}{h^{\alpha}} \sum_{j=0}^{\left[\left(t-t_{0}\right) / h\right]} w_{j} f(t-j h)$ 計算給定函數的分數階微分或積分的值。

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